2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 25

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

і отже

p(0) = 8fMo) = еЩ = f"(x0, y0 )cosa + f"{x0, )cos

З означення скалярного добутку випливає, що похідна (32) за напрямом дорівнює

ШШ = ЩЩіА = \gradf (M 0) cos( gradf (M 0) ? г]. ( 33 )

Тому вона набуває найбільшого значення, якщо l° tt grad f0), тобто якщо похідну функції z = f (М) = f (x, y) в точці М0(x0, y0) взято в напрямку градіє­нта цієї функції в цій же самій точці. Цей факт можна записати наступним чи­ном:

8l       8grad f (M 0)   1 Можна сказати, що ґрадієнт функціїz = f (M) = f (x,y) в точці M0(x0; y0)

- це є вектор, який за величиною і за напрямком дає найбільшу швидкість зрос­тання функції в цій точці.

Приклад. Частинні похідні функції z = f) = f (x, y) по x або y є її похі­дними в напрямах осей Ox і Oy відповідно.

Приклад. Знайти похідні функції z = x2 + y2 в точці M0 (1;—2) в напряму: a) відомого вектора а =(— 3; 4); b) ґрадієнта функції в цій же точці M0 (1;—2); c) ґрадієнта функції в точці N(2; 3), відмінній від точки M0 (1;—2).

Розв"язок. Перш за все

grad z(M) = gradz(x, y) = (z'x (x, y); zy (x, y)) = (2x;2y),

і тому

gradz(M0) = (zx(1;—2); z\(1;—2)) = (2;—4), gradz(N) = (zx(2; 3); z\(2; 3)) = (4; 6).

Орти вектора a = (— 3; 4) і ґрадієнта функції z = x2 + y2 в точці N(2; 3) відпові­дно дорівнюють

a= Щ = (— И) gradz(N)' =(^752 ^=^^^^

Отже, на основі формул (32), (34) маємо

da      "     " 4  и/ У  5j       '5 5

Теорема 8. Ґрадієнт grad f (M0) є перпендикулярним до лінії рівня функ­ції z = f (M) = f (x,y), яка на площині xOy проходить через точку M0(x0; y0).

■Нехай лінія рівня l: f (x, y) = C (для певного значення C) проходить че­рез точку M 0( x0; y0) (рис. 3). Кутовий коефіцієнт дотичної до цієї лінії в точці M0(дорівнює

У(Х0 ) = - fx'(x0 , У0 У fy (Х0 , У0 )>

звідки отримуємо рівняння дотичної до лінії

y - y 0 = - fX (Хс ,y 0 Уf У (Х0,y 0 \(x - Х0 ) ,

або

fX(x0 , y0 ХХ - Х0 )+ fy 0 , y0 )(y - y0 ) = 0 • Зшдоіі випливає, що gradf0) = f    , y0), f'y    , y0)) є Рис. 3 перпендикуляром до лінії рівня /, бо перпендикулярний до

напрямного вектора дотичної до /, а саме до вектора M 0M = (x - x0, y - y0) •■ Аналогічні означення і факти є справедливими в 3-вимірному просторі для функції трьох змінних u = f) = f (x, y, z), а саме:

8f (M0) = f (x0,y0,Z0) = f(M)-f(M0) ( 35 )

l° = (cosa, cos j3,cosy),

f8f(xo,yo,z0) 8f(xo,yo,z0) 8f(xo,yo,z0

8x 8y 8z

= fxo^ = gradf (m o j. cosf gradf (M 0), l

8l 8l

( 36 ) ( 37 )

max 0

8f(Mo) =fx-yo1z<0) = I gradf (m 0). ( 38 )

8l      8gradf(M0)   |5     Jy  o;| V '

Теорема 9. Ґрадієнт grad f (M0) = grad f (x0, y0, z0) перпендикулярний до поверхні рівня f (x, y, z) = C функції z = f) = f (x, y, z), яка проходить че­рез точку М0 (Xo; yo; zo) ^

2.2.6. Похідні в економіці. Еластичність А. Темп зміни функції

Відносна швидкість зміни [темп зміни] функції y = f (x) - це є її лога­рифмічна похідна

7} (x)=(lnf (x))'= ^. ( 39 )

Б. Граничні величини

Економіка має справу з численними так званими граничними величина­ми: граничні витрати виробництва, гранична виручка, граничний доход (прибу­ток), граничний продукт, гранична корисність тощо.

Зупинімося на понятті граничних витрат виробництва. Решта розглядає­ться аналогічно.

Розглядатимемо витрати виробництва як функцію y = f (x) кількості x ви­пущеної продукції. Якщо Ax - приріст випущеної продукції, то приріст функ­ції

Ay = Af (x) = f (x + Ax)- f (x) є приростом витрат виробництва продукції, а

Ay = Af (x) = f (x + Ax)- f (x) Ax     Ax Ax

є середнім приростом витрат виробництва, які припадають на одиницю продук­ції. Похідна

y' = f (x) = lim Ay = lim Af(x) = lim f (x + Ax)- f (x)

Ax^o Ax   AxAx     AxAx

дає граничні витрати виробництва. Вони приблизно характеризують додаткові витрати, які припадають на одиниці додаткової продукції.

Граничні величини характеризують не умови, позиції, стани, статуси, але процес, зміну деяких економічних об"єктів. Отже, похідна - це є швидкість змі­ни ціх об"єктів (тобто швидкість процесу) відносно часу або деяких факторів, які є предметом вивчення.

В. Еластичність функції

Означення 8. Відносним приростом 8z даної додатної величини z > називається відношення її звичайного приросту Az до початкового значення z цієї величини,

Sz = Az.

z

Нехай функція y = f (x) та її аргумент є додатними : x > 0, f (x) > 0. За означенням їх відносними приростами є

Sx = Ax, Sf(x) = ^ ( 40 )

x f(x)

Означення 9. Еластичністю Ex (f) даної (додатної) функції y = f (x) з (додатним) аргументом x називається границя відношення відносного приросту функції до відносного приросту її аргументу, якщо цей останній прямує до ну­ля,

Ex (f ) = Sim SSSxx) ( 41 )

Еластичність виражає відсотковий приріст фунції на один відсоток при­росту її аргументу.

Теорема 10 (еластичність і похідна).

Ex(f) = f'(x).-fx-) ( 42 )

Af (x)l f (x) =       Af (x )■ x =   x Af (x)

. E (f) = li^^W/ZW = lim Ч\*У x =^^_. li^^vV = f '(A^L_ . xV/   Ax^o     Ax/x        Ax^o Ax f (x)   f (x) Ax^0  Ax f (x)'

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1