2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 26

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

Наслідок (еластичність і темп зміни). Еластичність функції дорівнює до­бутку її аргументу і темпу її зміни,

Ex (f ) = xTf {x) ( 43 )

Приклад. Нехай

f (x) = Axa,

де A, a - довільні дійсні числа, причому A > 0. Тоді

Ex (f) = Ex (Axa ) = a, ( 44 )

бо на підставі формули (42)

Ex(f) = Ex(Axa) = (Axa)= Aa xa-1 = a Приклад. Нехай

f (x) = eax,

де a - довільне дійсне число. Тоді

Ex (f) = Ex (eax )= ax ( 45 )

. Ex (f) = Ex (eax )=(eax ) ^ ^ = aeax ^ ^ = ax -

ee

Аналогічно доводиться (зробіть це самостійно!), що

Ex (f ) = Ex (bax ) = ax ln b.

Приклад. Якщо

f (x) = ln x   (x > 1), Ex (f) = Ex (ln x) = (ln xy-^ = і ■JL = 1

то

ln x   x ln x   ln x

Властивості еластичності

1. signEx(f ) = signf '(x) (оскільки x > 0, f (x)> 0).

2. Еластичність є безрозмірна функція, бо її розмірність [Ex (f )] = 1.

E (f )]=

lim ^'

Sx^o Sx

Sf (x )" x

Af (x)l f (x)' Ax/x

[Af (x)][x] [Ax][f (x )] = 1.

3. Ex f ) = , або Ex{f )= d(l°gaf (f

d (ln x) d(loga x)

для будь-яких a таких, що 0 < a Ф1.

.

d (ln f (x)) = (ln f (x)j dx = f(x} d (ln x)       (ln x) dx

W f '(x)

1

x

f '(x )*   = Ex (f )

f(x)

4. Еластичність добутку (частки) двох функцій дорівнює сумі (відповідно різниці) їх еластичностей,

Ex (fg) = Ex (f) + Ex (g),   Ex (fig ) = Ex (f)- Ex (g).

 Ex (fg )=(fg )f = fg f + fg'  = f ' f + g ' - = Ex (f) + Ex (g),

fg fg fg        f g

Ex {fig ) = (f/g )^ = 4  -JT ~ ^ТГ = f f - g   * = E* (f)-Ex (g )■

f/g    g    flg   g    flg        f g

2.3. ОСНОВНІ ТЕОРЕМИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

2.3.1. Теореми Ферма і Ролля

Теорема 1 (Ферма1). Якщо функція y = f (x) визначена на інтервалі (a, b) і набуває найбільшого або найменшого значення в деякій (внутрішній) точці x0 цього інтервалу, то похідна функції в цій точці, якщо вона існує, дорі­внює нулю, f '(x0 ) = 0.

■ Для визначеності припустимо, що функція y = f (x) набуває в точці x0 є (a, b) найбільшого значення, так що її приріст в цій точці є від"ємним,

Ay = f (x)- f (xo) < 0.

а) Нехай Ax > 0, причому Ax настільки мале, що x = x0 + Ax < b. Тоді

Ax < 0,

і на підставі теорії границь (див. п. 1.1.3 А, властивість 4) маємо

f '(x0)= lim ^< 0.

V 0J     Ax^0 Ax

b) Нехай тепер Ax < 0 і Ax є настільки малим, що x = x0 + Ax > a. Тоді

Ay

Рис. 1

A" > о,

Ax

і за тією ж теорією границь f '(x0)= lim ^ > 0.

V 0/     Ax^0 Ax

Ми отримали f'(x0)< 0 і в той же час f'(x0)> 0, звідки випливає, що f '(xo ) = 0.-

1 Ферма П"єр (1601 - 1665), відомий французький математик

Зауваження. В більш повних курсах математичного аналізу теорема дово­диться, як правило, в термінах лівої і правої похідних в точці x0 .

Геометричний сенс теореми Ферма полягає в наступному: дотична до графіка функції в точці M0 (x0, f (x0)), яка є його найвищою або найнижчою то­чкою на інтервалі (a, b), паралельна осі Ox (рис. 1).

Теорема 2 (Ролль1). Якщо функція y = f (x):

а) неперервна на відрізку (обмеженому замкненому інтервалі) [a, b];

б) має похідну на інтервалі (обмеженому відкритому інтервалі) (a, b);

в) має рівні значення на кінцях відрізка [a, b],

то існує принаймні одна точка x0 в інтервалі (a, b), в якій похідна функції дорі­внює нулю, f (x0 ) = 0 .

■Ми можемо припустити, що f (x) Ф const на (a, b) (в противному разі мали б f'(x) = 0 в усіх точ­ках інтервалу (a, b)). На підставі припущення а) фун­кція /(x) набуває своїх найбільшого і найменшого значень в якихось двох точках відрізка [a, b]. З при­пущення в) випливає, що принаймні одна з них ле-Рис. 2 жить всередині відрізка. Якщо x0 - одна з таких вну-

трішніх точок, то на підставі теореми Ферма і припущення в) похідна в цій точ­ці дорівнює нулю, f (x0 ) = 0 .■

Геометричний сенс теореми Ролля аналогічний сенсу теореми Ферма: якщо графіком функції y = f (x) є неперервна крива з рівновіддаленими від осі Ox точками A(a, f (a)), B(b, f (b)) (f (a) = f (b)), яка посідає дотичну в усіх своїх внутрішнії точках, то на графіку функції є принаймні одна точка M0(x0, f (x0)), в якій дотична до графіка паралельна осі Ox (рис. 2). Приклад. Довести, що похідна функції

1 Ролль Мішель (1652 - 1719), французький математик

f (x) = x4 + 4x3 + 11x2 36x180

має принаймні один корінь на інтервалі (- 3, 3).

Розв"язання. Функція f (x) неперервна і диференційовна на множині всіх

дійсних чисел, а точки x = ±3 є її нулями. За теоремою Ролля, застосованою для відрізка [ 3, 3], існує принаймні один корінь похідної f'(x).

Перевірка. Похідна f (x) дорівнює

f' (x ) = 4x3 + 12x 2 + 22x 36 і має (єдиний) корінь x = 1 всередині інтервалу (- 3, 3).

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1