2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 27

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

Приклад. Доведіть самостійно, що похідна функції f (x) = x 4 + 8x3 + 32x 2 + 13x 54 має принаймні один корінь в інтервалі ( 2,1).

Зауваження. З теореми Ролля випливає, що між двох нулів x1, x2 функції, яка є неперервною на будь-якому відрізку [a, b]^ [x1, x2] і диференційовною на відповідному інтервалі (a, b) z> (x1, x2), лежить принаймні один нуль її похідної. Приклад. Функція

f (x) = 9^°"

неперервна і диференційовна на відрізку [ я/2, nj2], причому

f ( я/ 2) = f (я/2) = 1. За теоремою Ролля її похідна f (x) принаймні один раз анулюється всередині інтервалу ( я/2, я/2).

Перевірка. Похідна функції дорівнює

f'(x) = 9^    S/inx- ln9,

і f'(x)= 0, якщо x = 0 є(— я/2, я/2).

Приклад. Перевірте самостійно справедливість теореми Ролля для функції

y = V12 x xРис. 3

на відрізку [4, 3]

Зауваження. Всі умови теореми Ролля є істотними для її справедливості, зокрема для існування дотичної до графіка фун­кції y = f (x), паралельної до осі Ox. З іншого боку вони є дос­татніми, але не необхідними для існування такої дотичної.

Приклад. Не існує жодної дотичної, яка була б паралель­ною осі Ox, для функції, графік якої подано на рис. 3. Ця функція задовольняє умови а) і в) теореми Ролля, але не задо­вольняє умову б), а саме не є диференційовною в єдиній точці x0 інтервалу (a, b). Рис. 4 Приклад. Жодна з умов теореми Ролля не виконується

для функції, графічно представленої на рис. 4: вона є розривною в точці d, не-диференційовною в точці c і має різні значення на кінцях відрізка, f (a) Ф f (b).

Тим не менш на відрізку є точкаx0 є (a, b), для якої дотична M07j|Ox.

2.3.2. Теореми Лагранжа і Коші

Теорема 3 (Лагранж1). Якщо функція y = f (x):

а) неперервна на відрізку [a, b];

б) має похідну в інтервалі (a, b),

то існує точка c є (a, b), для якої виконується наступна рівність:

f (b) f (a) b a

f' (c),

або ж

f (b) f (a) = f' (c)(b a)

( 1 )

( 2 )

■Позначмо

1 Лагранж Жозеф Луї ( 1736 - 1813), видатний французький математик, механік і астроном

f (b) f (a) b a

Q,

звідки

f (b) f (a) = Q(b a), f (b) f (a) Q(b a)= 0.

( 3 )

Замінюючи в (3) b на x, введімо допоміжну функцію

F (x )= f (x)— f (a)—Q(x a). ( 4 )

На підставі зазначених властивостей функції f (x) функція F (x) задовольняє всі умови теореми Ролля: вона неперервна на відрізку [a, b], має похідну

F' (x ) = f' (x)— Q

в інтервалі (a, b) і набуває рівних значень на кінцях відрізка a, b (F(a) = 0 по (4), F(b) = 0 по (3)). Отже, за теоремою Ролля існує точка c є (a, b), для якої по­хідна F' (c) = 0, тобто

F'(c)= f'(c)— Q = 0, f'(c)= Q, f'(c) =

f(b)— f(a) f(b)— f(a)

f '(c) .■

Рис. 5

b a b a

Геометричний сенс теореми полягає в наступному (рис. 5): якщо графік функції y = f (x) - неперервна крива, яка має дотичну в усіх своїх внутрішніх точках, то існує принаймні одна точка гра­фіка (C(c, f (c)) на рис. 5), в якій дотична до нього паралель­на хорді AB, що з"єднує кінцеві точки A(a, f (a)) і B(b, f (b)) графіка.

Наслідок. Якщо в умовах теореми Лагранжа похідна функції f (x) дорів­нює нулю, f' (x) = 0, то функція є сталою на відрізку [a, b].

■Для будь-якої точки x є [a, b] існує точки c є (a, x) така, що на підставі формули (2) мають

f (x)— f (a) = f' (c )(x a ) = 0 ■(x a )= 0. Звідси випливає, що f (x )= f (a )= const .■ Рис. 6 Зауваження. Обидві умови теореми Лагранжа, що їх

було накладено на функцію y = f (x), є суттєвими для слушності теореми, зок­рема для існування дотичної, паралельної хорді AB. В іншого боку, ці умови є достатніми, але не необхідними.

Приклад. Крива, зображена на рис. 6, не має дотичної, яка була б парале­льною хорді AB. Ця крива є графіком функції, котра хоч і неперервна на від-*j3 різку [a, b], але не має похідної в (єдиній!) точці c є (a, b).

Приклад. Функція, яку графічно подано на рис. 7, не задовольняє умови теореми Лагранжа, але її графік має на­віть дві дотичні, паралельні хорді AB . Рис. 7 Приклад. За допомоги теореми Лагранжа довести, що

для довільних a, b таких, що 0 < a < b, виконується наступна нерівність:

b a b a

< arctan b arctan a <

1 + b2 1 + a2'

■Функція f (x) = arctan x задовольняє умови теореми Лагранжа для будь-якого відрізка [a, b](0 < a < b), а тому існує така точка c є (a, b), що

f (b) — f (a) = f' (c )(b a), arctan b arctan a = ——a. ( * )

1 + c

Оскільки

0 < a < c < b,

легко отримуємо низку вірних нерівностей

2     2   т2 л     2   л    2      l2     1 1 1     b a    b a    b a

a < c < b ,1 + a < 1 + c < 1 + b ,--        <--        <--,--        <--        <--;

1 + b2    1 + c2    1 + a2  1 + b2    1 + c2    1 + a2

Нарешті з урахуванням (*) маємо

b a b a

-- < arctan b arctan a <--,

1 + b2 1 + a2

що і треба було довести.^

Приклад. Довести самостійно, що

b a      b   b a

a)-< ln— <-для 0 < a < b;

b        a a

b) H      < tanВ — tana < н      для 0 < a < В < я/2; cos a cos Вч   b -а   і        b - a Л 7

c)   ,        < arcsin b - arcsin a <  ,      = для 0 < a < b < 1.

V1 - a2 V1 - b2

Приклад. Використовуючи теорему Лагранжа, знайти наближене значен­ня числа V82.

Розв"язок. Нехай

f (x) = Vx, a = 81, b = 82. Теорема Лагранжа стверджує існування такої точки c є (81, 82), що

f (82) - f (81) = f '(c)(82 - 81),V82 - V8T = V82 - 3 = -±=.

4V c3

Утворимо далі наступний ланцюжок оцінок:

34 < 81 < c < 82 < 3.014 < 82.085, 34 < c < 3.014, 312 < c3 < 3.0112, 33 < Vc3" < 3.013,

-- <       < ,-- <-p= <--, 0.00916 <-= < 0.00926,

3.013    4Jc3    33 4 3.013    4 Vc3   4 33 4 4!c3

звідки отримаємо

0.00916 < V82-3 < 0.00926,3.00916 < V82 < 3.00926, V82 « 3.009. В останньому запису всі десяткові цифри є вірними.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1