2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 28

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

Приклад. Знайдіть самостійно наближене значення кореня V4.02 .

Зауваження. Теорема Лагранжа дозволяє довести достатню умову дифе­ренційовності функції декількох (не менше двох) змінних. Доведімо, наприк­лад, теорему 1 з п. 2.1.4, в якій йдеться про функцію двох змінних.

■Нехай відповідно до умов теореми функція z = f) = f (x, y) має час­тинні похідні в деякому околі точки М 0 (x0, y0), які неперервні в самій точці. Запишемо спочатку повний приріст функції в точці М 0 (x0, y0), тобто вираз

Az = f ) - f 0) = f (x, y) - f (x0, У0) = f (x0 + Ax, У0 + Ay) - f (x0, У0), в формі

Az = f (x0 + Ax, y0 + Ay) - f (xo, y0 + Ay) + f (xo, y0 + Ay) - f (xo, y0) =

= (f ( x0 + Ax, y0 + Ay) - f ( xo, y0 + Ay) )+ (f ( xo, y0 + Ay) - f ( xo, y0) ) Застосуємо тепер теорему Лагранжа до двох різниць в дужках, а саме:

Внаслідок неперервності частинних похідних в точці M 0 (x0, y0) можемо напи­сати

f 1, У0 +Ay) = f X (x0, У0 ) + «, f У (x0. C2 ) = fy        У0 ) + ^ .

де

a = a(Ax, Ay), /3 = /3(Ax, Ay) - нм при Ax » 0, Ay » 0. Таким чином, маємо Аг = С/;;(x0, y0) + a)Ax + (f'y (x0,y0) + 3)Ay = f'x(x0, y0)Ax + fy    ,y0) + aAx + /Ay

що і треба було довести.и

Теорема 4 (Коші1). Якщо функції f (x), g(x)

а) неперервні на відрізку [а, ь\;

б) мають похідні на інтервалі (а, Ь);

в) значення функції g(x) на кінцях відрізка не збігаються, g) Ф g(b), то існує точка c є (а, Ь), для якої виконується рівність

f (Ь) - f (а) = f(c) ( 5 )

g (Ь) - g (а)    g '(с)' ^ }

Доведіть теорему самостійно, покладаючи

f (Ь) - f (а) = Q g (Ь) - g (а)

і вводячи допоміжну функцію F(x) = f (x)- f (а)-Q(g(x)-g(a)).

2.3.3. Правило Лопіталя для розкриття невизначеностей

При обчисленні границь ми вже зустрічалися з невизначеностями типів:

0   ~~  0 -ао,Г,0", ао0,00, (±ао)-(±ао), (±ао)+(+ ю).

0 да'

Диференціальне числення надає можливість більш простого розкриття принай-

1 Коші Огюстен Луї (1780 - 1859), знаменитий французький математикмні деяких з них.

А. Невизначеності типів 0/0, оо/оо

1*2

Теорема 5 (правило Бернуллі - Лопіталя ). Границя відношення двох нм або нв (для будь-якого типу граничного переходу) дорівнює границі відно­шення їх похідних, якщо ця остання існує. Схематично

lim f(x) = ґ 0або°°1 = limf'(x)

g(x)   ^ 0        coj g'(x) ■Ми розглянемо найпростіший випадок, коли x а + 0, f (а) = g(а) = 0, а функції f (x), g(x) задовольняють умови теореми Коші. Нехай існує границя

K = lim ^.

Тоді за допомогою теореми Коші отримуємо lim f(x) = r°1= lim = lim f&) = K, lim f(x) = K = lim f'(x)

XXXXX s     \ - - XXXXX s     \ s      \ - XXXXX s     \ - 11 ?       XXXXX s     \ - 1 \- - XXXXX / ч

x—а+0 g(x)   ^0 j   x—а+0 g(x)-g)   x—а+0 g'(c)       x—а+0 g(x) x—а+0 g'(x)

оскільки с є (а, x) і с — а при x а + 0.^

Зауваження. Історично склалось так, що правило Бернуллі-Лопіталя зви­чайно називають правилом Лопіталя.

Зауваження. Правило Лопіталя можна (а часто-густо навіть дуже корис­но) комбінувати з іншими методами розкриття невизначеностей. Зокрема, мож­на використовувати таблицю еквівалентних нескінченно малих.

Приклад.

sin 9x ~ 9x tg24x ~ 24x

1 - cos16x    f 0

lim-= I

x—0sin9 xtg 24x   ^ 0

1 - cos16x 1 1 - cos16x lim-=-hm-

x—0 9x24x     216x—0      x1

1  ,.   (1 -cos16x)      1  ,.   16sin16x     1 ,.   sin16x   і . ^     1    . 16 -hm--;—— =-lim-= lim-= sin16x = 16x -

216x—0      (2\ 216x—0     2x        27x—0    x       1 1 27

1 Бернуллі Йоганн (1667 - 1748) - відомий швейцарський математик

2 Лопіталь Гійом Франсуа Антуан (1661 - 1704) - французький математик

Приклад.

,. ln5 x f осЛ (ln5x) ,. 5x 1 ,. 1 f 1 . „ lim = I I = lim-"-h = lim^^- = _ hm = \ I = 0.

x—o x10     ^oj   x—o (xio)'     x—o 10x9    10 x—o x10 ^юо

Зауваження. Правило Лопіталя при необхідності можна застосовувати повторно декілька разів.

Приклад. Для будь-якого натурального n

xn   focA        (xn)'     n       xn-1   f^A    n       (xn-1)'    n(n-1),.   xn-2

lim = I I = lim лv =-lim-= I I =-lim л-f - = ~r lim-

x—о         j   x—o(5x)    ln5 x—ю      ^ooj   ln5 x—ю     )      (ln5)  x—ю

= ^ lim til = ...*    lim-L = f I

(ln5)2 x°> (5x) (ln5)nx—°5x

Останні два приклади свідчать про те, що степенева функція прямує до нескінченності швидше, ніж логарифмічна, а показникова - швидше степеневої.

Б. Деякі інші типи невизначеностей

Інші невизначеності тими чи іншими перетвореннями треба зводити до перших двох типів.

Не входячи в загальні міркування, обмежимось кількома прикладами. Приклад.

і-     і       Гг.    \   і-   ln x   f <хЛ   ,.   (ln x)    ,.    1/ x lim x ln x = (0 •(») = lim—^ = I I = lim--'— = lim=

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1