2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 29

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

,    — і і iiiii f    iiiii ~Z~        11II1Ж \J .

Приклад. Користуючись щойно отриманим результатом, маємо

lim x ln x

ex ln x = Є

x0 + 0 4    '     x0+0V       '       x—0+0

lim xx =(00)= lim (elnx)x = lim exlnx = ex—m+0Xlnx =(є°°) = = 1.

і А і A ' ' ..    і А і A ' ' і А і A ^ '

Приклад. limf ——---1 | = (ю - ю) = limf:1---1 | =

x<\ sin2x   2sin x j x<\ 2sin x cos x   2sin x j

,.   1 - cosx   f 0")        1 - cosx   1,.   (1 - cosx)    1 ,.

= lim-= I I = lim-= lim--— = lim sin x = 0.

x0 sin 2x    l 0 j   x—0    2x       2 x0      x 2 x2.3.4. Формули Тейлора і Маклорена

А. Формули Тейлора і Маклорена для многочлена

Нехай дано многочлен n-го степеня

P(x) = а0 + а1 x + а2 x 2 + а3 x3 +... + anxn.

Диференціюючи його n разів, дістаємо

P' (x ) = 1- а1 + 2а2 x + 3а3 x 2 + 4а4 x3 +... + nаnxn-1, P '' (x) = 1- 2а2 + 2 • 3а3 x + 3 • 4а4 x2 + 4 • 5x3 +... + (n - l)nanxn-2 P "' (x) = 1 • 2 • 3а3 + 2 • 3 • 4а4 x + 3 • 4 • 5x2 +... + (n - 2)(n - 1)nanx

( 6 )

n-3

( 7 )

P (n)(x) = Ь 2 • 3 •... • nan.

Покладаючи в формулах (6), (7) x = 0, ми можемо виразити коефіцієнти много­члена через значення його і всіх його похідних в точці x = 0, саме

р(0) = а0 = Ь а0 = 0!а0 (0! = 1), P ' (0) = а1 = Ь а1 = 1!а1 (1! = 1), P '' (0) = Ь 2 • а2 = 2!а2(2! = Ь 2), P"' (0) = 1 • 2 • 3 • а3 = 3!а3(3! = 1 • 2 • 3),

P(")(0) = 1 • 2• 3 •... • n ап = n!an(n! = 1 • 2• 3 •... • n, n - факторіал),]

P '''(0)

а0 = P(0) = ^, а1 = P' (0)= «, а2 = «, а3

0     w      0! 1! 2!

3!

P (n)(0)

n!

,( 8 )

P(x) = P(0) + P'(0)x + ^x2 + ^x3 +... + ^xn x*. ( 9 )

2!

3!

n!

k=0

Означення 9. Формула (9) називається формулою Маклорена (або Тей­лора1 - Маклорена2) для многочлена (6). Ми довели наступну теорему.

Теорема 10. Кожний многочлен (6) може бути представлений формулою Маклорена (Тейлора - Маклорена) (9) (з коефіцієнтами (8)).

1 Тейлор Брук (1685 - 1731) - англійський математик

2 Маклорен Колін (1698 - 1746) - шотландський математик

Якщо многочлен n-го степеня поданий у вигляді розвинення за степенями різниці x - x0, саме

P( x ) = а0 + а1 (x - x0) + а2 (x - x0 )2 + а3 (x - x0 )3 +... + an (x - x0 )n,      ( 10 ) то тим же шляхом доводиться, що

/   \   P (0)(x0) ,/   ч   P '(x0) P '' (x0) P (n)(x0 )/114

0! 1! 2! n!

P(x) = P(x0) + P'(x0 )(x - x0) + ^ (x - x0 )2 +... + P^ (x - x0 )n,     ( 12 )

2! n!

n   P(k)(x )

P( x ) = Z P^ (x - x0 )k.

k=0 k!

Означення 10. Формула (12) називається формулою Тейлора для много­члена (10).

Теорема 11. Кожний многочлен вигляду (10) може бути поданий форму­лою Тейлора (12) (з коефіцієнтами (11)).

Зауваження. Формула Маклорена (9) є частинним випадком формули Тейлора (12) для x0 = 0.

Б. Розвинення бінома (формула бінома Ньютона)

Означення 11. Біномом Ньютона називається наступний вираз

P(x) = (a + x)n. ( 13 )

Розвинемо біном Ньютона (13) за допомоги формул (6), (9). P ' (x) = n(a + x )n-1, P '' (x) = n(n - 1)(a + x )n-2, P"' (x) = n(n - 1)(n - 2)(a + x )n-3,..., P{k)(x) = n(n - 1)(n - 2)...(n -(k - 1))(a + x)n-k,..., P{n)(x) = n! P(0) = an,P'(0) = nan-1,P'' (0) = n(n - 1)an-2,P''' (0) = n(n - 1)(n -2)an-3,..., P{k)(0) = n(n - 1)(n - 2)...(n -(k - 1))an-kP{n)(0) = n!

t      \n     n       n-1     n(n -1) n-2 2   n(n - 1)(n - 2) n-3 3

(a + x)n = an + nan 1 x + -'-a" 2x2 + -^-'-a" 3x3 +... +

2! 3!

+ n(n- 1)(n-2)...(n-(k-1))an-kxk +... + "("zIIa2xn-2 + naxn-1 + xn. ( 14 ) k! 2! V '

Коефіцієнти розвинення (14) (біномні коефіцієнти) позначаються наступним чином:

Г0 = 1 Г1 = n Г2 = n(n - 1)       Г"-2 = Г2 = - 1) Г"-1 = Г1 = n Г" = Г0 = 1

Загалом

Г* = -Л-'—^-^-k = 0,1,2,..., n - 2, n -1, n       ( 15 )

k!

Зауваження. Коефіцієнти (15) посідають властивість (доведіть її само­стійно)

Г" = Гп~к. ( 16 )

Зауваження. Біномні коефіцієнти можна легко запам"ятати за допомогою так званого трикутника Паскаля1

1

1 1 1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1        5        10        10        5 1

Приклад.

(а + x )3 = а3 + 3а 2 x + 3ax2 + x3, (а + x )4 = а 4 + 4а3 x + 6а 2 x2 + 4ax3 + x4, (а + x)5 = а5 + 5а 4 x + 10а3 x 2 + 10а 2 x3 + 5ax 4 + x5.

В. Формули Тейлора і Маклорена для довільної функції однієї змінної

Нехай задано довільну функцію y = f (x).

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1