2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 3

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

> 0, 38 > 0, //x є D(f): (0 < \x - a\ < S =>\ f (x)-b\ < є О ( b - є < f (x)< b + є)). Приклад. Вище ми дали математичне означення того факту, що

lim f (x) = lim x-9 = 6.

x ——3 x ——3   x 3

Зараз ми можемо подати означення в такій формі:

f

//є > 0, 38 = є, //x є D(f): x єU3,S = U'3 e =>\ f (x)- 6 =

x2 - 9

x - 3

- 6

< є

J

або ж

f

> 0, 38 = є, //x є D(f): I 0 < \x - 3| < S = є =>\ f (x)-6 =

x2 - 9

x-3

-6

J

Приклад. Довести на підставі означення границі, що

lim x = 4.

x—2

Областю визначення функції y = f (x ) = x2 є множина всіх дісних чисел.

Поведінку функції при x 2 показано в таблиці 2.

Table 2

x

1.96

1.97

1.98

1.99

2.00

2.01

2.02

2.03

2.04

y = x2 (*)

3.84

3.88

3.92

3.96

4.00

4.04

4.08

4.12

4.16

U2 - 4

0.16

0.12

0.08

0.04

0.00

0.04

0.08

0.12

0.16

Нехай є > 0 - додатне як завгодно мале число. Тоді f (x)-4 = \x2 - 4 < є якщо - є < x2 - 4 < є, 4 - є < x2 < 4 + є, V4 - є < x < V4 + є. Таким чином, для будь-якого є > 0 існує окіл точки x = 2, а саме U2 = = (m, n) = (V4-є,л/4 + є), такий, що для всіх значень x є U2 виконується нерівність

|x2 - 4 < є .

За означенням границі (з врахуванням зауваження 1) можемо написати

> 0, 3U2 = (л/4- є, V4 + є), Vx є Ж : (x є U2 => |x2 -4 < є), limx2 = 4.

Геометричний сенс розглянутого граничного переходу вста­новіть самостійно.

Приклад. За допомогою означення тангенса довести, що для будь-якого a є (0, л/2)

lim tan x = tan a .

x— a

Рис. 6 «Позначимо на лінії тангенсів три точки

tan a - є, tan a, tan a + є

(точки C, B, D відповідно, рис. 6) та з"єднаємо ці точки з центром O тригоно­метричного круга. Нехай

а = ZAOC, a = ZAOB, /3 = ZAOD, x = ZAOM (рис. 6). Отримуємо наступний результат (в символічній формі):

/є> 0, 3Ua = (а, 3), /x є (0, л 12): (x є (а, //) =>

tan a - є < tan x < tan a + є, тобто Itan x - tan a\ < є).

На підставі означення границі маємо lim tan x = tan a

Можна поширити цей результат на довільне a Ф ж/2, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3,.... Спробуйте зробити це самостійно.

За допомогою означення синуса, косинуса і котангенса (в тригонометрич­ному крузі) можна довести, що

limsin x = sin a; lim cos x = cos a; lim cot x = cota (a Ф m, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3,...).

x^a x^a x^a

Зауваження. Два попередні приклади та названі результати стосовно функцій sin x, cos x, cot x дають нам перші приклади так званих неперервних функцій, тобто функцій, які посідають властивість вигляду

limf {х ) = f (a )

(границя функції в точці a дорівнює значенню функції в цій точці). Існує багато функцій такого гатунку. Нижче йтиметься про неперервність всіх основних еле­ментарних та елементарних функцій на своїх областях визначення. Але вже за­раз при обчисленні границь ми будемо брати цю неперервність до уваги, при­наймні в простих випадках.

Приклад. Довести, що функція двох змінних

x1 x2

1'    2/ 2   , 2

не має границі в початку координат O(0, 0).

■Достатньо показати, що при наближенні до початку координат вздовж деяких двох різних шляхів ми отримуємо різні результати. Як такі шляхи виби-ремо, наприклад, прямі x2 = x1 та x2 = 2x1. Вздовж прямої x2 = x1 маємо

f (X1, x2 )= f x1 )=     2X'"x1 2 = (     limm(00) f (X1, x2 )= 1ІП10    г*'*1 2 =

а вздовж прямої x2 = 2 x1 - зовсім інший результат

f(xl, x2 ) = f(x1,2x1 )= x1 )2 =        (     llmln(00) f(xl, x2 )= llm0^xL72xV =

На підставі зауваження 2 це значить, що границі функції в початку координат, тобто при (x1, x2) — (0,0), не існуєм

Ми дали означення границі функції y = f (x) однієї або декількох змінних в точці a. Існують і інші типи граничних переходів. Ми коротенько розглянемо їх для функцій однієї змінної x є D(f) <z Ж1.

Б. Однобічні границі функції однієї змінної в точці

Нехай x < a та x a . Кажуть, що x прямує до a зліва, і позначають цей факт наступним чином: x a - 0. Відповідна границя b1 функціїy = f (x), як­що вона існує, називається лівою границею функції в точці a і позначається

b = f (a - 0)= lim 0 f (x) (рис. 7).

Означення 15. Число b1 називається лівою гра­ницею функції y = f(x) в точці a (тобто якщо x прямує до a зліва), якщо (символічно) Vs > 0, 3(m, a), Vx є D(f) : (x є (m, a)=> f (x)-< є).

Рис. 7 Аналогічно кажуть про прямування x до a справа

(x > a і x a, x a + 0) та праву границю b2 функції в точці a,

b2 = f (a + 0) = lim f (x) (рис. 7).

x—a+0

Означення 16. Число b2 називається правою границею функції y = f (x) в точці a (тобто якщо x прямує до a справа), якщо

Vs > 0, 3(a, n), Vx є D( f): (x є (a, n) == f (x)- b2 \ < s). Приклад. Функція

f ( )   Jx -1,   якщо 0 < x < 3, [З - x,   якщо 3 < x < 4

(див. рис. 8) має в точці x = 3 ліву границю, рівну 2, та праву границю, яка дорівнює 0, Рис. 8 f (3 - 0) = lim f (x) = lim (x -1) = 2,

f(3 + 0) = lim f(x)= limfe-x) = 0.

З"ясуйте самостійно геометричний сенс правої й лівої (або, як часто-густо кажуть, однобічних) границь.

Теорема 2. Границя функції (однієї змінної) в точці a існує тоді і тільки тоді, якщо вона має в цій точці ліву й праву границі, причому обидві ці одно­бічні границі є рівними,

(3 limf(x) )»(3f(a - 0)= lim f(x), 3f(a + 0)= lim f(x), f(a - 0) = f(a + 0))

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1