2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 30

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

Означення 12. Многочленом Тейлора n-го степеня, відповідним функції y = f (x), називається такий многочлен

1 Паскаль Блез (1623 - 1662) - відомий французький математик, фізик та філософ

T" (x) = Ж)+ f'(x0 )(x - x0)+ f^ (x - x0 )2 +... + (x - x0)" ( 17 )

2! n!

Означення 13. Різниця n раз диференційовної функції y = f (x) та її мно­гочлена Тейлора Tn (x) називається залишковим членом і позначається Rn (x),

Rn (x) = f(x)-T" (x) ( 18 )

З формул (17), (18) випливає, що

Rx) = R"(x0) = R"(x0) = ... = R(:)(x0) = 0 і R{k)(x) = f(k)(x) для k > n  ( 19 ) Теорема 12. Для (n + 1) раз диференційовної функції y = f (x) залишко­вий член може бути представлений в формі (формі Лагранжа)

R" (x) = f"+r)r (x - x0 ( 20 )

(n +1)!

де с - деяка точка між x і x0.

■Нехай, для визначеності, x0 < x, а

p(x) = (x - x0 ( 21 )

допоміжна функція. Очевидно, що

Ж) = Л) = Р"^) = .. = Р(")(x0) = 0, p("+1](x) = (n +1)!. ( 22 )

Застосовуючи n раз теорему Коші (з послідовною появою точок с1,с2,..., cn,с таких, що x0 < с < ся < ... < с2 < с1 < x), дістаємо

Rn (x) = Rn (x)-Rn (x0) =        = R" )-R" (x0) =       ) = ^ = ) =

p(x) p(x)-p(x0 ) <P'1 )       <P'1 )-^(x0 )       Р"(с2 )     "'      (Р{П)(с" )

R(„ ]{сп)-R"n)(x0)       +1)(с)   f(n+1))  . R ( )   f(n+1)(с),x) = Р")(с")(x0) =        (с)= (n +1)      R"(x)= (n +1) ^

n +1 )!

Зауваження. Залежно від способу міркувань існує багато форм залишко­вого члена (в формі Лагранжа (20), Коші, Пеано1 і т.ін).

Знаючи залишковий член Rn(x), ми можемо подати функцію y = f (x) у

1 Пеано Джузеппе (1858 - 1932) - італійський математиквигляді

f(x) = T"(x) + R"(x) ( 23 )

Означення 13. Формула (23), яка виражає функцію y = f (x) за допомо­гою її многочлена Тейлора Tn(x) і залишкового члена Rn(x), називаєть-ся фор­мулою Тейлора для цієї функції.

В частинному випадку x0 = 0 формула називається формулою Маклоре­на.

Напишемо формули Тейлора і Маклорена з залишковим членом в формі Лагранжа в розгорнутому вигляді. Маємо:

f(x) = f(x0)+ f'(x0)(x - x0) + ^ (x - x0 )2 +... + (x - x0)" +

A"+1)( \ " AkА"+ї)( \ ( 24 )

+ fГ (x - x0)"+1 = 1 Ч?1 x* + V^T (x - x0 Г, с є (x0, x),

f(x)= f( 0)+ f'(0)x + f|) x2 +... + x" + f^M x"+1 =

^P(k)(0) k + f("+1)(с) n+1      (0   ) ( 25 )

=g-kr-x +^rx ,сє(0,x)

Приклад. Розкласти функцію f (x) = ex по формулі Маклорена. Знаходимо похідні заданої функції та їх конкретні значення

f (x) = f' (x) = f "(x) = f "(x) = ... = f{") (x) = f (n+1) (x) = ex,

f (0) = f' (0) = f'' (0) = f'" (0) =... = f") (0) = 1, f"+1) (с) = єс, після чого за формулою (25) отримуємо

ex = T"(x) + R"(x) = 1 + x + + x3 + +... + + 7x"+^ес, с є (0,x). (26) nW 2!    3!    4! n!   (n +1) v '

Поклавши

ex » Tn(x) = 1 + x + + + +... + , ( 27 )

nW 2!    3!    4! n!

знаходимо наближене значення функції f (x) = ex з абсолютною похибкою

in+1

а = ex - Tn (x) = \Rn (x) = -Д-_ec. (28)

Приклад. Знайти наближене значення числа e, покладаючи x = 1 і n = 8 в формулах (27), (28). Маємо

а = Є -T8(1)1 = R8(1)1 = ec, 0 < c < 1, ec < 3, а < < 0.000008 = 8-10-6, і      8 v /і   і 8 wi   9! 9!

T8(1) = 1 + - + - + - + - + - + - + - « 2.718278, 8V '      2!   3!   4!   5!   6!   7! 8!

T8 (1)- 8 10-6 < e < T8(1) + 8 10-6, 2.718278- 0.000008 < e < 2.718278 + 0.000008,

2.718270 < e < 2.718286,

або ж

e « 2.7182,

де всі десяткові цифри - точні.

Приклад. Розвинути по формулі Маклорена функції

f (x) = sin x, f (x) = cos x. Дамо розв"язок для першої з функцій, f (x) = sin x. Похідні функції дорівнюють

f '(x) = cos x, f"(x) = - sin x, f"'(x) = - cos x, f1(4)(x) = sin x, f ^(x) = cos x, f (6)(x) = - sin x, f ^(x) = - cos x, f ®(x) = sin x,..., загалом (див. п. 2.2.3)

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1