2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 31

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

f(n)(x) = sin^x + n 722

Значення функції та її похідних в точці x = 0 дорівнюють

f (0) = 0, f '(0) = 1, f "(0) = 0, f ""(0) = -1, f(4)(0) = 0, f (5)(0) = 1, f (6)(0) = 0, f (7)(0) = -1, f (§)(0) = 0,...,

f{2n-1)(0) = sin^(2n -|j = sin ([nn - £j = - sin[^ П -nn j = - cosnn = (- 1)n-1, f(2n )(0) = sin^ 2nП j = sin nn = 0,а значення (2n +1) -ої похідної в точці c є

ж

f (2n+-)(c) = sin c + (2n +

V 2

Тепер на підставі формули (25) дістаємо

x3      x5 n-1    x 2n-1 n+1    x 2n+1 f       П Л

sinx = x--+--... + (- 1)n  7-r- + (- 1)n+ 7-^sinl c + — (2n +1)1. (27)

3!    5!        V   '    (2n -1)   V    '    (2n +1)!    V     2V J

Таким же чином розвивається за формулою Маклорена друга функція.

Зробіть всі викладки самостійно, ми ж наведемо загальний результат

x 2      x4      x6 x 2n x2n+2 f       n Л

cosx = 1 - + - +... + (- 1)n       + (- 1)n+17x-vcosl c + -(2n + 2)1 .(28)

2!    4!    6!        V   ' (2n)   V   '    (2n + 2)     V     2 V J

Приклад. З формули (27) випливає, що

sin x « T1 (x) = x

з абсолютною похибкою

.3

а = |sin x - T1 (x) = R1 (x) =

(-1)2 sinl c + 3 — V    '  3!     V 2

I I3

<   < 0.001 if x < V0.006 < 0.18

3! 1 1

Отже, з точністю до 0.001

sin x « x,

якщо

\x\ < 0.18, або |x°|< 10°. Зауваження. Покладаючи

dx —     — x   x0,

Ми можемо написати формулу Тейлора (24) за допомогою диференціалів

Af(x0 ) = f(x)-f(x0 ) = df(x0) + 2 d 2f(x,) +... + ^ dnf (x0 ) + 7^ dn+^.f(c) ( 29 )

2! n! (n +1)!

Г. Формула Тейлора для функції декількох змінних

Формула Тейлора (29) для функції однієї змінної припускає просте пере­несення на випадок функції декількох змінних.

Нехай

x x2,..., xn , x0 =(xl0, X20,..., xn0 ,

а функція n незалежних змінних

У = f (x) = f (x^ X2,..., xn )

Л +1 разів диференційовна. Тоді її повний приріст в точці x0 =(x10, x20,..., xn0) може бути поданий в вигляді формули Тейлора з залишковим членом в формі Лагранжа

Ay = Af (x0 ) = f (x) - f (x0 ) = f (x1, X2,..., xn ) - f (x10 , X20,..., xn0 ) =

= df(x0) + -d2f(x,)+... + 1dkf(x,)+(£+-[ d*+^.f(c), c = (c-,c2,...,cn). ( 30 )

Для випадку функції двох змінних z = f (x, y) формулу Тейлора записує­мо в такому вигляді

Az = f (x, y) - f (x0, y0 ) = df (x0, y0 ) + 2d 2f (x0, y0 )+ - d 3f (x0, y0 ) + ... +

2! 3! ( 31 )

+1 dkf (x0, У0 dk+-f (c-, c2 ),

де

dV (xo,y0H^Tdx + T~dy I f (xo,y0), k = 1,2,3,... ( 33 )

ox oy

df (xo, y0 ) = fX (x0, y0 )dx + f'y (x0, y0 )dy = g^fxo^y0] ^ vA dy),

d 2f (x0, y0 ) = fXX (x0, y0 )dx 2 + 2fx"y (x0, y0 )dxdy + ./УУ (x0, y0 )dy 2,      ( 32 )

f 0 A     0    Л л dx +--

З формули (32) бачимо, що диференціал другого порядку функції двох змінних z = f (x, y) є квадратичною формою з симетричною матрицею (так зва­ною матрицею Гессе1) другого порядку,

H(f, (x0, y0 )) = ffxx     y0)   5     y0 ^ fy (x0, y0 ) = fl (x0, y0).     ( 34 )

1 Гессе Людвиг Отто (1811 - 1874) - німецький математик

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1