2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 32

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

У випадку n незалежних змінних диференціал другого порядку функцї y = f (x) = f (x15 x2,..., xn) є квадратичною формою

d f (x0 )= d f(x10' X20'...' Xn0 )= ^ fxixj (x0 )dxidxj

i, j =1

з симетричною матрицею (матрицею Гессе) n-порядку

 

fx1x1 (x0 )

fxix2 (x0 )

f xix3 (x0 )     ..

.     fx^xn (x0 )

 

fx2 x1 (x0 )

fx2 x2 (x0 )

fx2 x3 (x0 )    ..

.     fx2 xn (x0 )

 

fx3 x1 (x0 )

fx3 x2 (x0 )

f x3 x3 (x0 )     ..

.     fx3 xn (x0 )

 

ч f xnx1 (x0 )

fxnx2 (x0 )

fxnx3 (x0 ) ..

. f xnxn (x0 )y

f"ixj (x0 ) = f"jXi (x0 ), i = 1> 2,..., n, j = 1> 2,..., n.

( 35 )

( 36 )

3. ЗАСТОВУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ЧИСЛЕННЯ 3.1. ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

3.1.1. Умови зростання і спадання функції

Теорема 1 (необхідна умова зростання функції). Якщо диференційовна функція однієї змінної y = f (x) зростає на деякому інтервалі, то її похідна на цьому інтервалі є невід"ємною.

■Нехай функція y = f (x) зростає на інтервалі (a, b), x - довільна точка ін-тервала, а приріст Ax аргументу x настільки малий, що точка x + Ax лежить на (a, b) (рис. 1). Якщо приріст аргументу додатний, Ax > 0, тобто x < x + Ax < b, то приріст функції в точці x додатний,

cl  ctMxxz^xg Af (x ) = f (x + Ax)" f (x)> 0,

Fig. 1 а тому Af (x)/Ax > 0. Якщо ж Ax < 0, a < x + Ax < x, то

приріст функції в точці x від"ємний,

Af (x) = f (x + Ax)- f (x)< 0, тому Af (x У Ax > 0. Таким чином, в обох випадках (Ax > 0 і Ax < 0) відношення приросту функції до відповідного приросту аргументу Af (x)/Ax додатне. На ос­нові теорії границь (див. п. 1.1.3. А, властивість 4) похідна функції в точці x є невід"ємною, тобто

f >(x)= lim Af(x)> 0 .■

V  '    Ax-0 Ax

Зауваження. Аналогічно, нерівність f '(x)< 0 на інтервалі (a, b) є необхід­ною умовою спадання функції y = f(x) на (a, b).

Теорема 2 (достатня умова зростання функції). Якщо функція y = f (x) неперервна на деякому відрізку [a, b], а на інтервалі (a, b) має додатну похідну, f'(x) > 0, то функція зростає на [a, b].

■Нехай f'(x) > 0 на інтервалі (a, b), а x1, x2 - дві довільні точки відрізка

Застосування диференціального числення. 1. Функції однієї змінної 120 [a, b] такі, що x1 < x2 (рис. 2). За теоремою Лагранжа існує точка c є (x1, x2),

для якої

a xf     x^g х f (x2)- f (x1) = f 1 (c )(x2 - x1).

Рис. 2 Оскільки x2 - x1 > 0 і, згідно з умовою теореми, f i(c) > 0,

маємо

f(x2 )-f(x1 )> 0, f(x1 )< f(x2 ),

тобто функція зростає на відрізку [a, b].^

Зауваження. Аналогічно, нерівність f (x) < 0 на інтервалі (a, b) є достат­ньою умовою спадання функції y = f(x) на відрізку [a, b], якщо вона неперер­вна на цьому відрізку.

Приклад. Довести, що функція, яка неявно задана рівнянням еліпса

2 2 x- + y- = 1

a2    b2 '

спадає на відрізку [0, a].

■За правилом диференціювання неявної функції маємо 2 x   2 yy i   n yy i      x b2 x   n n

—+ ^т~ = o, bL = _   , y 1 = -^ < 0    x > o, y > °^

a      b b        a ay

Приклад. Функції, які неявно задано відповідно рівняннями гіперболи і параболи

2 2

xj -    = 1, y2 = 2/?x (p > 0), ab

зростають в першому квадранті.

Достатньо ще раз застосувати правило диференціювання неявної функції, згідно з яким відповідно

2x 2yy'

2 7 2

a b

Завершіть доведення самостійно.

0,   2 yy i = 2 p.

121    Застосування диференціального числення. 1. Функції однієї змінної 3.1.2. Локальні екстремуми

Означення 1. Точка x0 називається точкою локального максимуму функції y = f (x), якщо ]   існує деякий окіл Uxo цієї точки (U   = (m, n) на рис. 3) такий, що для будь-якої точки x з проколе-Рис. 3 ного околу U'xo = Ux0 \ {x0} виконується нерівність

f (x)< f x ),    або    Af (x0 ) = f (x)- f x )< 0. Значення функції в точці x0, тобто f (x0), називається локальним максимумом функії.

Аналогічно означається точка локального мінімуму і локальний мінімум функції (точки x1, x2 на рис. 3 і відповідні значення f (x1), f (x2 ) функції).

Терміни локальний максимум і локальний мінімум об"єднуються спіль­ним терміном локальний екстремум.

Означення 2. Точка x0 з області визначення функції y = f(x) називається критичною точкою функції, якщо її похідна в цій точці дорівнює нулю або не існує.

Зокрема,

Означення 3. Точка x0 називається стаціонарною точкою функції, якщо її похідна в цій точці дорівнює нулю, f' (x0) = 0.

Теорема 3 (необхідна умова існування локального екстремуму). Якщо функція y = f (x) має локальний екстремум в точці x0, то ця точка є критичною точкою функції.

Справедливість теореми випливає з теореми Ферма.

Зауваження. З теореми 3 випливає, що функція може мати локальний екс­тремум тільки в своїй критичній точці. З іншого боку, критична точка не обо-в"язково є точкою локального екстремуму, тобто необхідна умова існування екстремуму зовсім не є достатньою.

Застосування диференціального числення. 1. Функції однієї змінної 122 Приклад. Точка x = 0 є критичною (а саме стаціонарною) для функції

f (x) = x3 (f" (x) = 3x2, f" (0) = 0), але вона не є точкою локального екстремуму,

/       оскільки f (x)< f (0) = 0при x < 0 і f (x)> f (0) = 0

при x > 0 .

д/ fg  ^    у- Теорема 4 (перша достатня умова існування

/ локального максимуму). Якщо функція y = f (x) не-

Рис. 4 перервна в своїй критичній точці x0, f"(x) > 0 в ін-

тервалі (a, x0), f"(x) < 0 в інтервалі (x0, b) (рис. 4), то функція має локальний максимум в цій точці.

■Доведення випливає з теореми 2 і подальшого зауваження до неї: функ­ція зростає в інтервалі (a, x0), спадає в інтервалі (x0, b) і, крім того, є неперер­вною в точці x0. Отже, вона має в цій точці локальний максимум.^

Аналогічно дається достатня умова існування локального мінімуму в кри­тичній точці, якщо нерівності в умові теореми 4 замінити на такі: f (x) < 0 в

інтервалі (a, x0), f"(x) > 0 в інтервалі (x0, b). Функція, графік якої зображено на рис. 4, має локальний мінімум в критичній точці b (зауважмо, що похідна функції в цій точці не існує, бо точка (b; f (b)) є кутовою точкою графіка функ­ції).

Теорема 5 (друга достатня умова існування локального екстремуму функ­ції в її стаціонарній точці). Нехай x0 - стаціонарна точка функції y = f (x), тобто f" (x0 ) = 0 (див. означення 3), і, крім того, друга похідна функції в цій точці від­мінна від нуля, f" (x0) = 0. За цих умов точка x0 є точкою локального максиму­му при f"(x0) < 0 і точкою локального мінімуму при f"(x0) > 0.

■Нехай, наприклад,

f " (x0) = lim f ,(x0 +Ax)-f ,(x0) lim f"(x0 +Ax) < 0.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1