2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 35

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

k---> 0, якщо x — +оо,

xx

а отже

k = lim f(x),   b = lim (f(x) kx). ( 4 )

Похилу асимптоту для лівої частини графіка функції шукають в тій же формі (3), але значення параметрів k, b даються формулами

k = lim f(x),   b = lim (f (x) kx) ( 5 )

x———да    x x——да

Якщо принаймні одна з границь (4), (5) нескінченна або взагалі не існує, то відповідна частина графіка функції не має похилої асимптоти.

Зауважимо, що горизонтальна асимптота є частинним випадком похилої, якщо в процесі відшукання останньої ми отримуємо k = 0. На практиці ж краще спочатку шукати горизонтальні асимптоти і тільки у випадку нескінченної гра­ниці функції на + да (або на да) переходити до знаходження похилої асимпто­ти для правої (відповідно лівої) частини її графіка.

Приклад. Знайти асимптоти графіка функції

x3

y = x^9.

Розв"язок. Прямі

x = —3, x = 3

є вертикальними асимптотами, бо y да при x ±3. Для похилих асимптот

y = kx + b

дістаємо

k = lim f(x) = lim —x= lim ^ = 1; k = 1;

x—»±да    x x—»±qo x   9 x—»±да x

x 3                      9 x x b = lim (f (x) kx) = lim (—--x) = lim —-= 9 lim=0; b=0.

x—>±oo x—±q x   9 x—±q x   9 x—±q x

Отже, обидві частини графіка функції мають одну й ту ж похилу асимп­тоту

y = x.

Приклад. Графік функції

f (x) = 3 arctan x x

не має вертикальних асимптот, бо функція неперервна на множині всіх дійсних чисел, але його ліва і права частини мають різні асимптоти. Дійсно,

k = lim        = lim|3--1l = 0 1 = —1;

Застосування диференціального числення. 1. Функції однієї змінної 132 b = bleft = lim (f (x) - kx) = lim (3 arctan x - x - (-1)x) = lim 3 arctan x =--;

x—-да x——да x——да 2

b = bright = lim (f (x) - kx) = lim (3 arctan x - x - (-1)x) = lim 3 arctan x = .

Отже, прямі

3я 3я

У = - x--, y = - x +--

2 2

є асимптотами для лівої і правої частин графіка функції відповідно.

3.1.6. Загальна схема дослідження функцій та побудови їх графіків

Дослідження функції та побудова її графіка здійснюються за загальною схемою, сутність якої викладається нижче.

I. Перша частина. Попередній ескіз графіка функції.

1. Визначення області визначення і неперервності функції, фіксація то­чок нескінченного розриву і відповідних вертикальних асимптот.

2. Визначення інтервалів знакосталості функції, тобто інтервалів, на яких вона додатна або від"ємна.

3. Обчислення лівих і правих границь функції в точках її нескінченного розриву.

4. Знаходження точок перетину графіка з координатними осями.

5. Знаходження границь функції при x ±да, фіксація можливих горизон­тальних асимптот та точок їх перетину з графіком.

6. Знаходження похилих асимптот графіка у випадках нескінченної гра­ниці функції на - да або + да та точок їх перетину з графіком.

Корисно (як правило, з самого початку) з"ясувати такі два питання.

7. Чи є функція парною або непарною. Парність або непарність функції означає симетрію її графіка відносно осі Oy або початку координат відповідно і дозволяє досліджувати функцію тільки на інтервалі [б, да).

8. Чи є функція періодичною? Якщо це так, то можна обмежитись дослі­дженням функції тільки на якомусь одному періоді.

9. Побудова попереднього ескізу графіка функції.

II. Друга частина. Дослідження функції на зростання, спадання та лока­льні екстремуми за допомогою першої похідної у" = f '(x), фіксація точок гра­фіка, які відповідають екстремальним значенням функції, перша корекція попе­реднього ескізу графіка.

III. Третя частина. Дослідження функції на опуклість або угнутість та наявність точок перегину її графіка за допомоги другої похідної у" = f"(x), друга корекція попереднього ескізу графіка. Корисно знайти кутові коефіцієнти дотичних (тобто значення першої похідної) до графіка в точках його перегину.

IV. Четверта частина. Остаточна побудова графіка функції.

Зауваження. Деякі методисти радять перед остаточною побудовою графі­ка функції скласти так звану таблицю поведінки функції, де зводяться до купи результати всіх проведених досліджень (нулі і точки розриву, екстремальні зна­чення функції, точки перегину, знаки функції та обох її похідних на відповід­них інтервалах тощо).

Приклад. Дослідити функцію

У =

та побудувати її графік.

I. Перша частина.

1. Функція визначена і неперервна в усіх точках, відмінних від ± 3. Тому областю її визначення і неперервності є D(y ) = (-да,-3)и(- 3,3) и (3, да), тобто об"єднання трьох інтервалів. Точки x = ±3 є точками нескінченного розриву функціі, а прямі x = ±3 - вертикальними асимптотами її графіка.

2. Очевидно,

f ( x)   (- x)2 - 9      x2 - 9     f (x).

Застосування диференціального числення. 1. Функції однієї змінної 134 Наша функція є непарною, а її графік - симетричним відносно початку координат. Тому ми можемо обме-Рис. 14 житись її дослідженням тільки на інтервалі [0, да).

3. Визначення інтервалів знакосталості функції (для x > 0).

Функція дорівнює нулю при x = 0 і не існує при x = 3. Методом інтерва­лів ми з"ясовуємо, що функція додатна на інтервалі (3, да) і від"ємна на інтерва­лі (0,3) (рис. 14).

4. Обчислення лівої і правої границь функції в точці x = 3, тобто точці її нескінченного розриву. З врахуванням знаків функції зліва і справа від цієї точ­ки, маємо

f (3 " 0)= lim0 f (x) = -да, f (3 + 0)= lim f (x) = -нда.

x—3-0 x—3+0

5. Існіє єдина точка перетину графіка функції з координатними осями, саме початок координат O (0;0).

6. Границя функції на + да дорівнює

lim f (x)= lim

з з x x

Рис. 15

.       = lim= lim x = +да .

x—+да x   9      x—+да x        x—+да

Отриманий результат свідчить про необхідність шукати похилу асимптоту графіка.

7. Шукаючи рівняння похилої асимптоти вигляду

y = kx + b,

отримуємо (див. один з попередніх прикладів)

У = x.

8. Щоб з"ясувати, чи перетинається похила асимптота з графіком функ­ції, ми повинні розв"язати систему рівнянь

x2 9"

I   y = ^

Остання має єдиний розв"язок (0, 0), так що асимптота зустрі чається з графі­

3

/ '(* )=

135   Застосування диференціального числення. 1. Функції однієї змінної ком тільки в початку координат O(0;0).

9. Тепер ми можемо зобразити попередній ескіз графіка функції (рис. 15). II. Друга частина. Дослідження функції на зростання, спадання та лока­льні екстремуми за допомоги її першої похідної.

10. За правилом диференціювання частки маємо

3x1 (x1 - 9)-2x x3 _ x4 - 27x1 _ x1 (x1 - 27) (x2 - 9)2        = (x2 - 9)2=  (x2 - 9)2

Похідна дорівнює нулю при x _ 0,x _ 3л/3 « 5.2 і не існує при x _ 3 . Точки 0, 3\/3 є критичними Рис. 16 точками функції. Похідна є додатною на інтервалі

(3л/3, да) і від"ємною на інтервалах (0; 3) and (3; 3\/3) (рис. 18). Отже, функція зростає на (3л/3, да) і спадає на (0,3) і (3,3л/3). В точці x _ 3\/3 вона має локальний мінімум

У,n _ f М_^)^7.8;

(Зл/З) -9

Рис. 17     йому відповідає точка ^(3л/3; f (3л/3)) графіка функції.

11. Ми можемо здійснити першу корекцію попереднього ескізу графіка функції (рис. 17).

III. Третя частина. Дослідження графіка на опуклість, угнутість, відшу­кання точок перегину за допомоги другої похідної.

12. Друга похідна функції дорівнює

)_ 18x(x2 + 27) f (x)_   (x2 -9)3 .

Вона дорівнює нулю в точці x _ 0, не існує при x _ 3, є від"ємною в інтервалі (0,3) і додатною в інтервалі (3, да). Отже, графік функції опуклий над інтерва­лом (0,3) і угнутий над інтервалом (3, да). Для x є (0, да) він не має точок пере­гину. Але на підставі симетричності графіка відносно початку координат він має єдину точку перегину, а саме початок координат O(0,0).

13. Кутовий коефіцієнт дотичної до графіка в початку координат дорів­нює нулю, оскільки f '(0)_ 0. Це значить, що графік дотикається осі Ox в точці свого перегину.

14. Використовуючи результати проведених досліджень, ми можемо за бажанням скласти таблицю поведінки функції.

Тепер ми можемо здійснити другу корекцію попереднього ескізу графіка і перейти до заключної частини роботи.

IV. Четверта частина. Остаточна побудова графіка функції (див. рис.18).

і побудувати її графік. I. Перша частина.

1. Область визначення і неперервності функції D)_ (-да,+да). Її графік не має вертикальних асимптот.

2. Функція є парною, отже її графік симетричний відносно осі Oy і ми можемо обмежити дослідження інтервалом [0,+да).

Рис. 18

Приклад. Дослідити функцію

у _ e

- 3. Функція є додатною для всіх x є [0,+оо).

4. Точка Л(0; 1) є Oy є єдиною точкою перетину графіка з координатними осями.

5. Границя функції на + оо дорівнює нулю,

lim f (x) = lim e~x = 0,

отже графік має горизонтальну асимптоту y = 0 (вісь Ox) і не перетинається з нею.

II. Друга частина.

6. Перша похідна функції

y' = -2xe~x = -2xy < 0 для x є (0,+оо). Отже, функція спадає на інтервалі [0,+оо) і не має локальних ек­стремумів.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1