2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 36

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

III. Третя частина.

7. Друга похідна функції

y" = -2(y + xy') = -2(y + x(- 2xy)) = 2y(2x2 -1).

Вона дорівнює нулю в точці x =       , від"ємна на інтервалі (0,1/V2) і додатна

на інтервалі (1/V2,+oo). Графік функції є опуклим над інтервалом (0,1/2~),

угнутим над інтервалом (1/V2,+oo) і має точку перегину при x = 1/'42 тобто то­чку

чку

/4/72; f (VV2)) = b(VV2; 1j4e).

^ jC? /        'x Четверта частина. Графік функції

Рис. 19 показано на рис. 19. Часто-густо його нази-

вають дзвоноподібною кривою або кривою Ґаусса).

Приклад. Дослідити функцію y = 3 arctan x - x та побудувати її графік. I. Перша частина.

1. Область визначення і неперервності функції D(y) = (-оо,+оо). Її графік не має вертикальних асимптот.

2. Оскільки

f (-x) = 3arctan(-x)-(-x) = -3arctanx + x = -(3arctanx -x) = -f (x), функція є непарною, і ми можемо провести її дослідження тільки на інтервалі [0,+да), бо графік функції є симетричним відносно початку координат.

3. Ми зразу знаходимо один нуль функції на інтервалі [0,+со), саме x = 0,

і це значить, що її графік проходить через початок координат O(0; 0). Але ми не

знаємо, чи має функція на цьому інтервалі інші нулі, а тому не в змозі знайти інтервали знакосталості функції і можливі інші точки перетину графіка з віссю Ox.

4. Оскільки

lim f (x)= lim (3 arctan x - x) = 3 lim arctan x - lim x = 3n/2 - lim x = -00,

x—»+00 x -—+00 x -—+00 x -—+00 x -—+00

ми повинні шукати похилу асимптоту графіка функції.

5. Відповідну асимптоту вже знайдено в одному з попередніх прикладів, а

саме

6. Графік функції не перетинається з похилою асимптотою, оскільки сис­тема рівнянь для відшукання можливих точок перетину, а саме

y

3п

= -x + 2

y = 3 arctan x - x,

припускаючи, що він перетинає вісь Ox тільки в початку коор-

не має розв"язків (перевірте!).

7. Побудуємо попередній ескіз графіка функції, поки

Рис. 20      динат O(0; 0) (рис. 20).

II. Друга частина. Перша похідна функції дорівнює

3

2 - x

2

У'

1 + x 2

-1 =

1 + x

2

Точка x = 42 є критичною (а саме, стаціонарною) точкою функції. На інтервал139   Застосування диференціального числення. 1. Функції однієї змінної (о, а/2 ) маємо y > 0, і функція зростає. На інтервалі (л/2,+оо) y < 0, і функція

спадає. Це означає, що вона має локальний максимум в точці x = 42, який до­рівнює

Утах = f (J2) = 3arctanV2-42 * 3 • 0.96-1.41 * 1.45.

Максимуму функції відповідає точка a(42; f (42)) її графіка, і, отже графік перетинає вісь Ox в деякій точці з абсцисою, яка ле-жить в інтервалі між 42 і 3*/2.

III. Частина третя. Друга похідна функції

у

= - 2 x(1 + x 2)- 2 x(2 - x 2) =   - 6 x

< 0

(1 + x2 ) "(1 + x2 )

Рис. 21 є від"ємною для всіх x > 0, отже графік функції

над інтервалом (0,+оо) є опуклим. Він має єдину точку перегину O(0; 0) з куто­вим коефіцієнтом дотичної f' (0 )= 2 в цій точці.

IV. Четверта частина. Остаточний графік функції зображено на рис. 21.

3.1.7. Текстові екстремальні задачі

Існує багато задач, висловлених словами, де треба знайти найбільше або найменше значення якоїсь величини. Розв"язання таких задач складається з трьох частин.

А. Зведення задачі до суто математичної.

Як правило, тут ми здійснюємо трикрокову процедуру:

(1) Виконання рисунка з заданими величинами і потрібною кількістю ве­личин невідомих.

(2) Утворення аналітичного виразу для величини, яку треба максимізу-вати (чи мінімізувати). Як правило, цей вираз містить дві або більше змінних. Користуючись рисунком, ми шукаємо рівняння, які пов"язують ці змінні, щоб виключити в названому виразі їх всі, крім однієї.

Застосування диференціального числення. 1. Функції однієї змінної 140 (3) Запис всіх обумовлених обмежень на змінну, що залишилась в аналіти­чному виразі.

Тепер задачу повністю зведено до математичної екстремальної. Як правило, такий процесс зведення є найскладнішою частиною розв"я-зання поставленої задачі.

Б. Розв"язання математичної задачі на екстремум.

Припустимо, що ми шукаємо найбільше (або найменше) значення функції f (x), диференційовної на деякому інтервалі (a, b), a > -co, b < +оо.

Ми шукаємо на (a, b) критичні точки функції. Часто трапляється ситуа­ція, коли там існує єдина критична точка x0. В такому випадку корисним є таке зауваження:

Якщо функція f (x) має в точці x0 локальний максимум (мінімум), то ос­танній є її абсолютним максимумом (відповідно мінімумом).

На підставі зауваження нам залишається дослідити точку x0 на наявність в ній локального екстремуму функції. Як відомо, це можна здійснити як встано­вленням знаку похідної f"(x) на інтервалах (a, x0), (x0, b), так і з"ясуванням зна­ку другої похідної f" (x0) в цій точці.

У випадку скінченного інтервалу (a, b) можна піти іншим шляхом. Ми можемо довизначити функцію f (x) на кінцях a, b і зразу шукати абсолютний максимум (мінімум) функції, неперервної на відрізку [a, b].

В. Відповідь на питання, яке було поставлене у віхідній задачі.

Приклад. Будують конус з твірною /. Яким може бути його максимальний об"єм?

Розв"язання. Нехай твірна конуса AB = /, його висота до-рівнює OB = H, а радіус основи OA = R (рис. 22). Об"єм конуса дорівнює

V = 1I3tR 2 H

і залежить від двох змінних R, H. За теоремою Піфагора ми виражаємо R через

141    Застосування диференціального числення. 1. Функції однієї змінної H з трикутника OAB, R2 = /2 - H 2, і отримуємо V як функцію тільки однієї змінної H,

v = f (h ) = 3-(/2 - h 2 )h = 34 2H - H3),

де 0 < H < /.

Перша похідна функції V = f (H),

f"(н) = 3-(/2 - 3H2),

дорівнює нулю при H = //3, бо f' (н) = 0, якщо маємо

Рис. 22 /2 - 3H2 = 0, звідки H = / Іл/3. Отже, точка H = //л/3 є

критичною (стаціонарною) для функції V = f(H).

Наступні міркування ми можемо, як сказано, провести двома способами.

Перший спосіб. Похідна f'(н) є додатною на інтервалі (0, //3) і відм­ною на інтервалі (//\/3, /), оскільки для точок //2 є (0, /3) і //л/2 є (//л/3, /)

маємо

f (2)=1­/2 - 3

= >0,  f'1-^U-л/2-31-,= 12        J 1л/2J   3 І Іл/2

2

-/2 Л =--< 0.

6

Тому в точці H = // л/3 маємо локальний максимум.

В цьому ж можна впевнитись, знайшовши знак другої похідної в точці H = // л/3. Дійсно,

f "" (H ) = -2-H, f"

2-/

73

< 0

Внаслідок єдиності критичної точки H = //л/3 на інтервалі (0, /) локаль­ний максимум функції V = f(H) є також її абсолютним максимумом. Тому

Vmax = max f (H ) = f І -L) =

V

_/_

73

2-/ 3л/3

л/3

27

Другий спосіб. Помічаючи, що

/

/

/

lim f (H )= lim f (H ) = 0,

і покладаючи f (0) = f (/) = 0, ми визначаємо функцію f (H) як неперервну на відрізку [0, /]. Задача зводиться до відшукання на [0, /] її найбільшого значення. Маємо

(

/2

/

2

/

2л/ 3V3

v      ,V3J J V3 27 а отже, найбільше значення об"єму конуса дорівнює

/ \   2-/3V3 27

> 0, f (0) = f (/ ) = 0,

Vmax = max f (H ) = f

Зазначимо, що другий спосіб виявився набагато простішим першого. Приклад. Знайти розміри прямокутника найбільшої площі, який можна вписати в коло радіуса R.

Розв"язання. Нехай (рис. 23) AB = x, BC = у, AC = 2R. Площа вписаного прямокутника ABCD дорівнює

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1