2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 37

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

S = xy

і залежить від двох змінних x і у. З трикутника ABC за теоремою Піфагора знаходимо

у = BC = 4ACr-ABI = 44R2 - x2

Рис. 23

S = f (x) = W 4R2 - x2, 0 < x < 2R.

Функція

S = f (x)

має на інтервалі (0, 2R) єдину критичну (стаціонарну) точку x = RV2, бо

f "(x) = V4R2 - x2 + x

- 2 x

4R2 - 2x2

2>/4R2 - x2    V4R2 - x2 і f '(x) = 0,якщо x = RV2.

Перший спосіб. Визначмо функцію S = f (x) як неперервну на відрізку [0, 2R], поклавши f (0) = f (2R) = 0. Оскільки

f(0) = f(2R) = 0 і fRV2) = RV2 ^ 4R2 -(rV2 ^ = 2R2 > 0,

143   Застосування диференціального числення. 1. Функції однієї змінної з"ясовуємо, що в точці x = R?V2 функція набуває свого найбільшого значення, а отже шукані значення сторін прямокутника

x = RV2, у = V4R 2 - x2 = RV2. Таким чином, вписаним прямокутником ABCD найбільшої площі є квад­рат з стороною RV2.

Другий спосіб є дещо громіздкішим. Враховуючи, що

0 < R < RV2 < RV3 < 2R,    f "(R) > 0, f '(rV3)< 0, ми бачимо, що f'(x)> 0 на інтервалі (0, rV2), f'(x)< 0 на (rV2, 2r). Це зна­чить, що точка x = R?V2 є точкою локального максимуму функції S = f (x), а внаслідок її єдиності - і точкою абсолютного максимуму.

Приклад (для самостійного розв"язання). Треба виготовити циліндричний бак з дном і кришкою, використавши для цього S м2 матеріалу. Яким може бути максимальний об"єм такого циліндра?

Приклад. Треба транспортувати вантаж шляхом ABC (див. рис. 24, де по­значено AO _L OC, AO = 9 км, OC = 15 км). Витрати на транспортування одиниці вантажу на одиницю шляху вздовж AB і BC відносяться, як 5 : 4. Де повинна знаходитись точка B, щоб витрати на транспортування всього вантажу були мінімальними?

Рис.24 Розв"язання. Нехай OB = x, тоді 1 + x ,

BC = 15 - x, і витрати на транспортування T одиниць вантажу вздовж AB і BC відповідно дорівнюють

Sab = 5^T •л/81 + x2,      = 4£T -(15- x), де k - деякий коефіцієнт пропорційності. Тоді функція

f (x ) = Sab + Sbc = 5kT-V 81 + x2 + 4kT-(15 - x ) = kT (5^81 + x2 + 4(15 - x)) за очевидної умови 0 < x < 15 визначає витрати вздовж ABC, і треба знайти її мінімум.

Критична точка функції x = 12, бо

якщо 5x - 4л/81 + x2 = 0, x = 12. При x = 12 функція набуває абсолют-Л ного мінімуму, оскільки f'(x) < 0 для 0 < x < 12,

л f'(x)> 0 для 12 < x < 15, а критична точка є єдиною.

Приклад. Вписати прямокутник найбільшої площі в трикутник з основою a і висотою h, якщо

одна з сторін прямокутника повинна лежати на ос-

Рис. 25 нові трикутника.

Розв"язання. Нехай BC = a, AD = h, а x = MQ, у = PQ - сторони шуканого прямокутника MNPQ (рис. 25). З подібності трикутників ABC, APQ випливає, що

дорівнює нулю в точці x = hj 2, яка є точкою абсолютного максимуму функції f (x) (доведіть це самлстійно!).

Приклад. Промінь світла рухається з точки A в точку B, причому точки A і B знаходяться в різних середовищах. Припустимо, що спільною границею обох середовищ є площина. Згідно з відомим принципом Ферма світло рухаєть­ся вздовж такого шляху, для якого час руху є мінімальним. Нехай v1 - швидкі­сть світла в середовищі 1, а v2 - в середовищі 2. Покажемо, що світло рухається вздовж шляху, який перетинає границю середовищ 1 і 2 відповідно до так зва­ного закону Снелла:

sin в1 = v1 sin 6>2    v2 '

де 61 і Q2 - кути (кути падіння і заломлення), позначені на рис. 26. Розв"язання. Нехай (див. рис. 26)

AA1 1A1B1, BB11A1B1, AA1 = a, BB1 = b, A1B1 = c і x = A1O.

Тоді

OB1 = c - x, AO = 4a2 + x2, OB = -Jb2 + (c - x)2 . Якщо T є час руху променя від A до B, то

= AO + OB _4a2 + x2 + д/b2 + (c-x)2   T, =       x c-x =

v1     v2 v1 v2        '        vx4 a2 + x2    v2>/b2 + (c - x )2

1 AO    1  OB1    1   .  .    1    . ,    sin01   sin02 T,   0 sin^ v1

=---1-----1 = sin01---sm#2 =-1--2; T = 0, якщо ——L = —.

v1  AO   v2  OB    v1 v2 v1        v2 sin02 v2

Очевидно, за останньої умови реалізує­ться саме мінімум часу T.

Приклад. Довести, що ln(1 + x) < x

для x > 0.

■Введімо функцію Рис. 26 f (x ) = ln(1 + x)- x

з областю визначення D( f) = (-1, + да) й дослідімо її на монотонність і локальні екстремуми.

f'(x)=v- -1=;

1 + x       1 + x

f'(x) = 0 якщо x = 0;f'(x) > 0 на (-1, 0), f'(x) < 0 на (0,+да). Звідси випливає, що функція має в точці x = 0 локальний максимум, рівний

fmax = f (0)= ln1 - 0 = 0,

який в той же час є і абсолютним максимумом. Отже, f (x) < 0 для -1 < x Ф 0, а тому

Застосування диференціального числення. 1. Функції однієї змінної 146 ln(1 + x)-x < 0, ln(1 + x)< x

при -1 < x Ф 0, зокрема при x > 0.^ Приклад. Довести, що

2xarctan x > ln(1 + x2).

■Для функції

f (x) = 2x arctan x - ln (1 + x2)

ми маємо

2x 2x

f '(x) = 2 arctan x +------ = 2 arctan x;

w 1 + x2   1 + x2

f'(x)= 0, якщо2arctan x = 0, x = 0;

f '(x) = -2T, f '(0) = 2 > 0. 1 + x

Таким чином, функція має локальний, а в даній ситуації і абсолютний мінімум в точці x = 0, який дорівнює f (0) = 0, а тому f (x) > 0 для будь-якого x, тобто

2xarctan x - ln(1 + x2)> 0 і 2xarctan x > ln(l + x2).■ Приклад. Довести самостійно, що при x Ф 0 виконується така нерівність

ex >1 + x.

Приклад. Скориставшись результатом попереднього прикладу, довести, що для всіх додатних значень x

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1