2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 38

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

>1 + x + —.

2

■Функція

x2

f (x) = ex-1-x - 2 має похідну

f '(x) = ex-1-x,

яка дорівнює нулю в точці x = 0 , а при x Ф 0, за результатом попереднього при­кладу, є додатною. Це означає, що функція зростає на своїй області визначення.

147   Застосування диференціального числення. 1. Функції однієї змінної Але f (0) = 0, а тому f (x) > 0 для x > 0, так що зазначена в умові нерівність ви­конується. ■

За допомогою теорії екстремуму зручно розв"язуються деякі задачі еле­ментарної математики.

Приклад. Розв"язати рівняння

x4 +4 x3 + 6 x2 + 4 x W x2 +2x + 37 =5. Вказівка. Розглянемо функцію

f (x) = x4 + 4 x3 + 6 x2 + 4 x + V x2 + 2 x + 37 і дослідимо її на локальний екстремум. Похідна функції дорівнює

f(x) = 4x3 + 12x2 + 12x + 4 + -     2x + 2

= 4(x3 +1)+12(x2 + x)+

24 x2 + 2 x + 37 x +1 =

Vx2 + 2x + 37

= 4(x + 1)(x2 - x +1)+12x(x +1) + -

x+1

4x2 + 2 x + 37

= (x +1)1 4(x2 - x +1)+ 12x + 1

л/x2 + 2 x + 37

Ґ /                 \           1 ^ ( 1

= (x +1) 4(x2 - x + 3x +1)+ - =(x +1) 4(x +1)2 . =

t Vx2 + 2x + 37 J t Vx2 + 2x + 37

Вона перетворюється в нуль в єдиній точці x = -1, від"ємна ліворуч і додатна праворуч від неї. Отже, функція має в цій точці локальний мінімум, очевидно, рівний f (-1) = 5. За єдиності критичної (стаціонарної) точки локальний міні­мум є одночасно найменшим значенням функції. Оскільки ж права частина рів­няння дорівнює 5, рівняння може мати єдиний корінь x = -1 . Відповідь: x = -1 .

3.2. ЕКСТРЕМУМИ ФУНКЦІЙ ДЕКІЛЬКОХ ЗМІННИХ

3.2.1. Локальні екстремуми А. Означення

В цьому розділі ми розглядатимемо тільки двічі неперервно диференці­йовні функції декількох змінних.

Рис. 1

Означення 1. Точка x0 = (x10,x20,...,xn0 SRn називається точкою лока­льного максимуму функції n змінних f (x) = f (x1,x2,..., xn), якщо існує окіл Ux(j точки x0, такий, що для будь-якої точки x є U' = Uxo \ {x0} виконується нерів­ність

f(x)< f (x0) або Af (x0 ) = f (x)-f(x0 )< 0. ( 1 )

Значення функції в точці x0, тобто f (x0), називаеться локальним максиму­мом функції.

Аналогічно означається точка локального мініимуму и локальний мі­німум функції n змінних. Терміни локальний максимум і локальний мінімум об"єднуються, як завжди, загальним терміном локальний екстремум.

Випадок локального максимуму функції двох змінних

z = f (M ) = f (x, y)

проілюстровано на рис. 1. Точка M 0 (x0; y0) є точкою локального максимума. Останній дорівнює

Z0 = f (M 0 )= f (x0, У0 ) = M 0 ^ де P0 (x0; y0; z0) - точка поверхні z = f (x, y), графіка функції. На тому ж рисун­ку показано три лінії рівня функції, а саме:

f(xy) =      f(x,y) =     f(x,y) =

Б. Необхідна умова існування локального екстремуму

Означення 2. Точка x0 =(x10, x20,..., xn0 )є9їn називається стаціонарною точкою функції n змінних f (x) = f (x1,x2,..., xn), якщо в ній всі частинні похідні фунеції дорівнюють нулю,

Д (x0) = 0, fx'2 (x0) = 0,...,     (x0) = 0. ( 2 )

Зауваження. В стаціонарній точці диференціал функції дорівнює нулю,

df (x0 ) = fx1 (x0 )dx1 + fx'2 (x0 )dx2 + ... + Д (x0 )dxn = 0. ( 3 )

Теорема 1 (необхідна умова існування локального екстремуму). Якщо функція n змінних f (x), x є 9Їn досягає локального экстремуму в точці x0 є 9Їn, то ця точка є стаціонарною точкою функції, тобто в ній виконуються рівності (2), (3).

■ Нехай x2 = x3 = xзo,..., xn = xn0 і ^(x1 )= X20, x30,.-xn0 ) - функція

однієї змінної x1. Якщо функція f (x) = f (x1, x2,..., xn) має локальный екстремум в точці x0 =(x01, x02,..., x0n), то функція ^(x1) має локальный екстремум в точцx01, а тому qj (x01) = 0. Це означає, що

fx1 (x01 , X20, X30,..., xn0 ) = fx1 (x0 ) = 0.

Аналогічно доводиться, щоfx'2 (x0) = 0,..., f'Xn (x0) = 0 .■

З теореми 1 випливає, що (двічі неперервно диференційовна) функція f (x) = f (x1, x2,..., xn) може досягати локального екстремуму тільки в стаціонар­ній точці. Але стаціонарна точка не обов"язково є точкою локального экстре­муму, тобто необхідна умова існування локального экстремуму не є достатнь­ою.

Приклад. Точка O(0; 0) є стаціонарною для функції двох змінних z = f(x, y) = xy    (f; = y, f; = x, fx = f'y = 0ifx = y = 0), але не є точкою локального екстремуму, бо f (x, y) < f (0; 0) = 0 для xy < 0 (в другому і четвертому квадрантах) і f (x, y) > f (0; 0) = 0 для xy > 0 (в першому і третьому квадрантах).

В. Достатня умова існування локального екстремуму

Щоб встановити достатню умову існування локального екстремуму, візь­мемо до уваги деякі факти з теорії квадратичних форм.

Означення 3. Квадратичною формою n змінних x1,x2,..., xn називається

вираз

F (x ) = F (X1, xn )= Ё ^J^J , aV = a

( 4 )

i, J=1

Неважко помітити, що F (x1, x2,..., xn) можна зобразити в матричній формі,

F(xl, x2,..., xn )=(x1 x2... xn)

a12 a22 a1n a2n

n1        n 2 nn n

a22

a1n a2n

Van1     an 2

( 5 )

nn J

Ji

a11 a12

де матриця A називається матрицею квадратичної форми. Вона симетрична від­носно головної діагоналі, оскільки aH = aH.

Приклад. Квадратична форма двох змінних x1, x2- це є вираз

з матрицею

A =

+ a22 x2

i, J=1

ijxixj = V Л1

(x1 x2 I

a11 a12

x

a11 a12

v a21   a22 J

a11 a12

v a12   a22 J

12

( 7 )

Приклад. Квадратичною формою трьох змінних x1, x2, x3 є вираз

F'(x<1, x>2,   )         +~ at22+~ 0^33x-3 +~ 2о^2+~ 2a<13x<3 +~ 2aa23

3

= E aijxixj = (x1 x2 x3 )

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1