2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 39

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

i, J=1

x

a21    a22 a23

V a31

a32    a33 Jv x3 J

a =a.

Означення 4. Квадратична форма (4) називається додатно (від"ємно)

визначеною, якща вона має тільки додатні (відповідно від"ємні) значення для

будь-якого x Ф 0, тобто якщо x12 + x2 +... + xl Ф 0, і невизначеною, якщо вона може набувати як додатні, так і від'ємні значення.

Означення 5. Головними мінорами матриці (5) квадратичної форми (4) називаються її діагональні мінори

A1 = ^ A 2 =

a11 a12 a21 a22

 

a11

a12

a

, A 3 =

 

a22

a

 

a31

a32

a

33

A n = A = det A.

( 8 )

Теорема 2 (Сильвестр15). Квадратична форма (4) є додатно визначеною

тоді і тільки тоді, якщо додатними є всі її головні мінори,

A1 > 0, A 2 > 0, A 3 > 0,..., An > 0. ( 9)

Вона є від"ємно визначеною тоді і тільки тоді, якщо її головні мінори мають наступні альтернуючі знаки:

A1 < 0, A2 > 0, A3 < 0, A4 > 0,... ( 10 )

15 Сильвестр Джемс Джозеф (1814 - 1897) - английський математик.

Якщо всі головні мінори відмінні від нуля, але розподіл їх знаків відмін­ний від віпадків (9) і (10), то квадратична форма є невизначеною

Означення 6. Матрицею Гессе16 функції f (x) = f (x1, x2,..., xn) (в довіль­ній точці x = (x1, x2,..., xn)) називається матриця, елементами якої є частинні по­хідні другого порядку функції, а саме:

 

f (x)

f4'x2 (x)

•C (x) ...

f;xn (x П

 

 

f;'2X2 (x)

 

 

H (f, x ) =

fx;* (x)

(x)

.C,(x) ...

fx;xn

 

ч fxnx1 (x)

fx„x2 (x)

fxBx3(x) ...

 

( 11 )

Надалі припускатимето, що в стаціонарній точці x0 функції f (x) при­наймні одна її частинна похідна другого порядку відмінна від нуля. Це значить, що матриця H (f, x0) вважається ненульовою.

Теорема 3 (достатня умова існування локального экстремуму в стаціо­нарній точці). Нехай x0 = (x10, x20,..., xn0 УІn - стаціонарна точка функції

f (x) = f (xl, x2,.-xn), другий диференціал якої не дорівнює тотожно нулю в цій точці (відносно dxi,

i = 1, n), і нехай H (f, x0) - значення матриці Гессе (11) в цій точці з відмінни­ми від нуля головними мінорами.

а) Якщо всі головні мінори матриці H (f, x0) додатні,

А1 > 0, А 2 > 0, А 3 > 0,..., A n > 0, ( 12 )

то точка x0 = (x10, x20,..., xn0) є точкою локального мінімуму;

б) якщо знаки головних мінорів матриці H (f, x0) є альтернуючими,

А1 < 0, А2 > 0, A3 < 0, А4 > 0,..., ( 13 )

то точка x0 = (x10, x20,... , xn0 ) є точкою локального максимуму;

в) в усіх інших випадках локальний екстремум відсутній.

16 Гессе Людвиг Отто (1811 - 1874) - німецький математик.

■ За формулою Тейлора (див. формулу (30) в п. 2.3.4 Г (при n = 2)) при­ріст (повний приріст) функції в точці x0 = (x10, x20,..., xn0) дорівнює

Ау = а/-    ) = f (x)- f (xQ) = df (xQ)+ 2 d 2f (c), де c = (c1, c2,..., cn) - деяка точка. За умови (3) маємо df (x0 ) = 0, так що

Af(x0 ) = f(x)-f(x0 ) = 2 d 2f(c). ( 14 )

З неперервності частинних похідних другого порядку функції f (x) випливає, що знак правої частини рівності (14) в деякому околі Ux0 точки x0 збігається з

знаком значення d2 f (x0) другого диференціала функції в точці x0. Але диффе-ренціал d2 f (x0) дорівнює (див. формулу (35) в п. 2.3.4 Г)

n

d 2f (x0 ) = d 2f (X10, X20,..., xn 0 )= Z fx;xj (x0 )dxidxJ , ( 15 )

i, J=1

тобто є квадратичною формою змінних dxi (dxi = ax = xi - xi0) з матрицею H (f, x0) (див. (11)). При виконанні умов (12) ((13)) вона (за теоремою 2) є до­датно (від'ємно) визначеною вU   В першому випадку в Ux0 маємо d2 f (x0)> 0, звідки а/(x0 ) > 0, і функція f має локальний мінімум в точці x0. В другому ви­падку d2 f (x0) < 0, так що af (x0) < 0 в Ux0, і функція має в x0 локальний мак­симум. При невиконанні умов (12) або (13) (але при відмінних від нуля голов­них мінорах матриці H (f, x0)) квадратична форма (15) є невизначеною, дифе­ренціал d2 f (x0) і приріст af (x0) функції не зберігають знак в жодному околі точки x0, а цу означає відсутність в x0 локального екстремуму функції f (x) .■ Для випадку функції двох змінних f (x) = f (x1, x2) доведення теореми 3 сильно спрощується. Воно не вимагає долучення теорії квадратичних форм, оскільки знак значення d2 f (x0) = d2 f (x10, x20) диференціала в стационарній то­чці x0 = (x10, x20) визначається теорією квадратного тричлена. Дійсно, в цьому випадку

d V (x0 ) =     (*«, )Ax2 + 2ДХі (x0 )Ax^ +      (x0 )Ax:

Тут, як звичайно, Ax1 = dx1 = x1 - x10, Ax2 = dx2 = x2 - x20. Якщо, наприклад,

Ax2 Ф 0, то

d>/(x0 ) = Ax21      (x0) ^ I + 2/^ (x0 )A±L + /2x2 x )

VAx2 J

Ax,

I 1

Ax2

і квадратний тричлен в дужках (відносно Ax^ Ax2) є додатний (від"ємним) для всіх Ax1, Ax2, не рівних одночасно нулю, якщо A1 = /" (x0 )> 0 (відповідно A1 = = /хЛ (x0) < 0), а дискримінант тричлена, рівний

= 4

/"x2x2 (x0 )    .fx, x2 (x0 ) .fx, x2 (x0 )    fx2x2 (x0 )

від'ємний (а отже, головний мянор A 2 додатний). Функція має в точці x0 = = (x10, x20) локальний мінімум при A1 > 0, A2 > 0, локальний максимум при A1 < 0, A2 > 0. В інших випадках (A1 Ф 0, но A2 < 0) екстремум не досягається.

Зауваження. Теорема 3 справедлива, якщо значення d2 / (x0) диференціа­ла не дорівнює тотожно нулю (відносно dxi, i = 1, n). В протилежному випадку ми повинні звернутися до більш складної теорії (з використанням диференціа­лів порядків, вищих 2).

При розв'язанні конкретних задач можуть виникати, разом з названими в теоремі 3, і інші випадки, наприклад, коли принаймні один з головних мінорів Ai матриці (11) дорівнює нулю. Будемо вважати такі випадки сумнівними, та­кими, що вимагають додаткових досліджень. Але для функцій двох змінних / (x ) = / (x1, x2) ми в змозі вичерпати питання повністю.

Достатньо зупинитися на двох можливостях, коли в стаціонарній точці x0 = (x10, x20) маємо: а) A1 = 0, але A2 Ф 0, б) A2 = 0.

а) Якщо A1 = 0, але A2 Ф 0, то /" x (x0) Ф 0, A2 < 0, і формула (15) для зна­чення диференціала другого порядку функції / (x ) = / (x1, x2) в стаціонарній то­чці x0 = (x10, x20) набуває вигляду

d 2/(x0 ) = 2/"x2 (x0 )dx1dx2 + fx'2x2 (x0 )dx22.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1