2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 4

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

Справедливість теореми виплаває з означень 14 (для n = 1), 15, 16. В. Границя числової послідовності

Приклад. Нехай задано числову послідовність

2n + Г

x„ = ■

Її поведінку подано таблицею 3

102

3n - 2

103

106

Table 3

109

0.6666674 0.0000008

0.6666667 0.0000000

n 10 xn   («) 0.7500000     0.6744966 0.6674449

|xn -23 (*)    0.0833333     0.0078300 0.0007783

З таблиці ми бачимо, що загальний член xn послідовності прямує до 2/3 =

0.(6). Ми позначаємо цей факт таким чином

2n +1 2 lim-= —

nim 3n - 2 3

і кажемо, що послідовність {xn} прямує (частіше - збігається) до 2/3.

Задля точного означення висловленого факту визначмо, для яких значень n виконується нерівність

|2n+1 21

К - 2/3| =

< є,

3n - 2 3

якщо, як і вище, є є як завгодно малим додатним числом. Маємо

7

k - 23 =

2n +1 2

 

7

3n - 2 3

 

3(3n - 2)

= {forn > 1}=

3(3n - 2)'

7 ,       .     „ „    „    7       1 f 7     Л   7 + 6є

< є, якщо3(3п - 2)є > 7, 3n - 2 >—, n >-l--+ 2 1 =-.

3є       313є    J 9є

3(3n 2)

Позначмо далі

N

7 + 6є 9є

натуральне число, яке є цілою частиною числа

7 + 6є 9є '

Ми отримуємо, що для як завгодно малого додатного числа є нерівність

x - 2/3 < є

n

виконується для всіх натуральних чисел n більших, ніж знайдене число N. Сим­волічно

Ує > 0, 3N =

~ 7 + 6є~

f

, Vn:

_  _

V

> N => \x - 23 =

i   n        I i

2n +1

2

 

 

< є

3n - 2

3

J

Узагальнюючи міркування прикладу, ми можемо сформулювати означен­ня границі довільної числової послідовності.

Означення 17. Число b називається границею числової послідовності

{у»: у^ у»

якщо для довільного як завгодно малого додатного Рис. 9 числа є існує натуральне число N таке, що для всіх

натуральних чисел n, більших, ніж N, виконується нерівність

\уп - Ь < є О b - є < yn < b + є О Уп є      = (b - є, b + є). В такому випадку пишуть

lim уп = b

і кажуть, що числова послідовність прямує до b (або збігається до b, є збіжною

до b).

Символічна форма означення 17 є такою:

hin уп = bкщо

Ує > 0, 3N, Vn : (n > N == \yn b\ < є). Геометричний сенс означення границі полягає в наступному: всі члени послідовності з номерами n > N лежать всередині є -окола Ub є точки b, а всі

відповідні точки, які зображають члени послідовності, знаходяться всередині заштрихованої 2є -смуги між прямими y = b є, y = b + є (рис. 9).

Г. Границя функції на плюс або мінус нескінченності

Означення 18. Число b називається грани­цею функції y = f (x) при x +оо, lim f (x) = b,

X —+CO

якщо для будь-якого є > 0 існує число Xq таке, Рис. 10 що для всіх значень аргументу, більших від xQ,

виконується нерівність

f (x) b < є (b є < f (x) < b + є).

Символічно

lim f (x) = b, якщо Ує > 0,3x0, V є D(f): (x > x'0 => If (x) b| < є).

x—+cO

Геометрично (рис. 10): для x є D(f) таких, що x > x'0, значення функції лежать в є -околі Ubs =(b є, b + є) точки b, а відповідна частина її графіка зна­ходиться в заштрихованій смузі між прямимиy = b є, y = b + є.

Приклад. Довести, що

3x + 2 3

lim

x+т 4 x 5 4

Доведення.

3x + 2 3

 

23

4x 5 4

 

4(4 x 5)

= <при x>

4

1 ( 23

23 4(4 x 5)

< є,

якщо4є(4 x 5)> 23, x >—\— + 5

4 ^ 4є

Таким чином,

Ує > 0,3x0 =

ґ

3x + 2

3

Л

x > xQ ==

 

4

< є

V

4x 5

 

J

3x+ 2 3

lim-= —.

x—+m 4 x 5 4

Означення 19. Число b називається границею функції y = f (x) при x —о,

lim f(x) = b ,

x ——со

якщо для довільного є > 0 існує число x" таке, що для Рис. 11 всіх значень арґументу, менших, ніж x", виконується

нерівність

f (x) b < є (b — є < f (x) < b + є)

Символічно

lim f (x) = b, якщо Ує > 0,3xQQ, V є D(f) : (x < xQQ == I f (x) b| < є).

x ——со

Сформулюйте самостійно, що це означає геометрично (рис. 11). Приклад. Довести, що

3x+ 2 3

Дійсно,

3x + 2 3

 

23

4x 5 4

 

4(4 x 5)

lim

x——о 4 x 5 4

= < при x < I 4

23

23

4(4 x 5)   4(5 4 x)

(       ч                   23              23        1 ґ 23 якщо 4є(5 4 x )> 23, 5 4 x >—, 4 x < 5--, x <-\ 5--

<є,

Ує > 0,3x0' =1V 5 £ |, Vx є D( f) 3x+ 2 3

4x 5 4

== lim

3x+ 2 3

>—о 4 x 5 4

Д. Нескінченно малі (нм)

Означення 20. Функція y = f (x) називається нескінченно малою (нм) в деякому граничному переході, якщо її границя в цьому переході дорівнює ну-

лю.

У випадку x a отримують означення нм з означення 14 при b = 0: функція y = f (x) називається нм у випадку x a (або в точці a), якщо

Vs > 0, 3Ua, Vx є D(f): (x є U[ = \ f (x)- 0| = | f (x) < s О ( - s < f (x) < s))

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1