2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 40

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

/2

Очевидно, что d2 / (x0) не зберігає сталий знак в жодному околі стаціонарної точки, а тому локальний екстремум в ній відсутній. Вище ми бачили, що він відсутній і при A1 Ф 0, але A2 < 0.

Випадок A 2 = 0, коли тричлен d2 / (x0) має два рівних дійсних корені, є сумнівним незалежно від значення мінора A1 (нульового чи ні).

Виходячи з усього сказаного, достатню умову існування локального екст­ремуму функції двох змінних /(x) = /(x1, x2) в стаціонарній точці x0 = (x10, x20) можна сформулювати таким чином:

Теорема 4. Нехай x0 = (x10, x20) - стаціонарна точка функції двох змінних

J (x ) = J (xl, x2). а) Якщо

l-fx, x1 (x0 )     .fx, x2 (x0 )\

A = fix,(x0)>0   (A1 = fix,(x0)<0) и A2 = detH(/, x0) =

x1x1 \  0)     J x1x2\Jy'0 ,

> 0,

то в точці x0 = (x10, x20) функція моє локальний мінімум (відповідно - локаль­ний максимум).

б) У випадку

A2 = det H (/, x0 ) =

■fx1 x1 (x0 ) .fx1 x2 (x0 ) fx, x2 (x0 )    fx2x2 (x0 ) < 0

локальний екстремум не досягається. в) Випадок

A2 = det H (/, x0 ) = 0 є сумнівним і вимагає додаткового дослідження з залученням диференціалів порядку вище другого.

Приклад. Знайти локальні екстремуми функції

z = x3 + y3 -9xy + 27.

Перший крок: знахождення стаціонарних точок функції.

z'x = 3x2 - 9y, jz'x = 0, |3x2 - 9y = 0, Jx2 - 3y = 0, x = 0, y = 0; 0(0; 0), z'y = 3y2 - 9x;   [zy = 0;   J3y2 - 9x = 0;   [y2 - 3x = 0;   x2 = 3, y2 = 3;   M(3; 3).

Другий крок: дослідження стаціонарних точок 0(0; 0),M(3; 3). Для цього ми можемо скористатися як умовами (12), (13) загальної теорії, так і умовами (12 а), (13 а), які стосуються функцій двох змінних.

Розпочнімо з загальної теорії. Утворимо перш за все матрицю Гессе зада­ної функції. Маємо

z'L = 6x, z'y =-9,

Zyx = Zxy = -9, Zyy = 6y;

Гz"    z'' Л   Г 6x   - 9Л

ft ft

9 6 y

а) Для точки M(3; 3) відповідне значення матриці Гессе є

Г18   - 9Л

H ( z, M (3,3)) =

V- 9 18.

всі головні мінори матриці H (z, M (3,3)) додатні,

18 - 9

A, = 18 > 0,    A2 = 1 2    - 9 18

отже, на підставі теореми 3 (умова (12)) функція має локальний мінімум в точці M(3; 3).

б) Для точки 0(0; 0) матриця Гессе та її головні мінори дорівнюють

> 0;

H (z, 0(0; 0)) =

Г 0    - 9Л -9 0

; A1 = 0,  A 2 =

0 - 9 - 9 0 = -81,

і на підставі теореми 4 функція не має локального екстремуму в точці 0(0; 0).

Приклад. Знайти локальні екстремуми функції трьох змінних u = -x2 - y2 - 10z2 + 4xz + 3yz - 2x - y + 13z + 5.

1. Знаходження стаціонарних точок. Існує єдина стациінарна точка, оскі­льки

u'x =-2x + 4z - 2, u' =-2y + 3z -1, u\ =-20z + 4x + 3y +13,

x = y = z = 1, M 0 (1; 1; 1).

- 2 x + 4 z - 2 = 0,     j- 2 x + 4 z   = 2,

- 2y + 3z -1 = 0,     <! - 2y    + 3z    = 1, -20z + 4x + 3y +13;   [ 4x    + 3y   -20z   =   -13;

2. Дослідження стаціонарної точки M 0 (1; 1; 1). Частинні похідні другого

порядку функції

II о       II II f\       II II Л        II П       II II II

u   = -2, u   = u   = 0, u   = u   = 4, u   = -2, u   = u   = 3, u   = -20

xx '    xy yx '    xz zx '    yy '    yz zy        ' zz

породжують матрицю Гессе з сталими елементами, так що

H(u, M(x; y; z)) = H(u, M0    ;    ^ )) = H(u, M0 (1; 1; 1)) =

4 (M0)   u"y (M0)   u"zZ (M0Л   Г- 2    0      4 Л

u; (m0) u; (m0) uy2 (m0) = 0

X (M0)   u'y (M0)   u'z (M0)J   v 4 головні мінори значення матриці Гессе (в стационарній точці M 0 (1; !)

0

-2

3

3

20

A1 = -2 < 0, A 2 =

- 2 0 0    - 2

= 4 > 0, A3 =

-2

0

4

 

0

-2

3

= -30 < 0,

4

3

-20

 

і, отже, функція має в точкі M0(1; 1; 1 ) локальний максимум

umax = u(M 0 ) = u(1;1;1) = 10. Приклад. Знайти локальні екстремуми функції u = x + y/x + z/y + 2/z.

1. ux = 1 - y/x2, uy = V x - Vy2, u\ = 1/y - 2/z2;

' ' x = ±214,

 

1 - y/x2 = 0,

x2

= y,

x2 = y,

x2 = y,

x2 = y,

У x - z/y2 = 0,-

y2

= xz,

4

x = xz,

x3 = z,

x3 = z, <

 

1 y - 2/ z2 = 0;

2

z

= 2 y;

z = 2x ;

z = 2x ;

x6 = 2 x2;

Отримали дві стаціонарні

точки

M,(21/4; 2V

2; 23'4), m 2

(-2V4; 21/2 ;

34

z = ±2

2. Тепер ми повінні дослідити стаціонарні точки на існування локальних екстремумів. Частинні похідні другого порядку даної функціх в довільній точці (x; y; z) дорівнюютьух

2у їх3,

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1