2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 41

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

Uxy =-і/Х2 ,

 

-V х2,

 

 

= 0,

uy =-V y2,

 

a) Матриця Гессе і головні мінори в першій точці M 1 (21/4; 21/2; 23/4) є

ґ 23І4

H (u, M 1(214 ;21/2 ;23/4)) =

-2

-1/2

,-1/2

-2

-2-1

-1 2-1/4

4 = 23/4 > 0,

4

23/4 -2-1/2 -2-v2 21/4

= 2-2-1 >0,

А 3 =

>3/4

- 2 -1/2

- 2

-1/2

-2 - 2 -1

-1 2-1/4 = 2^4 - 2 • 2-5/4 = 2-5/4 (22 - 2) = 2-1/4 > 0.

Отже, ми маємо локальний мінімум в точці M 1(214; 212; 234).

b) Для другої точки M2 (- 2V4; 21/2; - 23/4) маємо

ґ- 234    - 2 -V2      0 Л

H (u, M 2 (- 21/4;21/2;-23/4 )) =

-2-V2

0

- 21/4    - 2

-1

- 2 -1   - 2

-1/4

А 2 =

А1 =-23/4 < 0,

- 23/4    - 2-1/2

- 2-1/2    - 21/4 > 0,

А з =

- 23/4    - 2-1/2

- 2-1/2    - 21/4 0

-2

-1

0 - 2 -1   - 2 -14

= -23/4 + 2 • 2-5/4 = 2-5/4 (2 - 22) = -2-1/4 < 0.

Таким чином, в точкі M2 (- 214; 212; - 234) функція має локальний максимум. Приклад. Функції

z = /1 (х,y) = х4 + y4,z = /2(х,y) = -х4 -y4,z = (х,y) = х4 -y4 мають одну й ту ж стаціонарну точку O(0; 0). Їх диференціали другого порядку

d2/1 = 12х2сіх2 + 12y2dy2, d2/2 =-12х2Сх2 - 12y2dy2, d2/3 = 12х2dx2 - 12y2dy2, Тотожно дорівнюють нулю в стаціонарній точці, і теорема 3 для цих функцій незастосовна. Легко бачити, що функція /1 (х, y) має в стаціонарній точці мак­симум, функція /2 (х, y) - мінімум, а функція /3 (х, y) взагалі не має екстремумів.

u

хх

2

0

Дійсно, f1 (x, y) > 0, f2 (x, y) < 0 в довільній точці, відмінній від стаціонарної,

тоді як f3 (x, y) > 0 при |x| > \y\, f3 (x, y) < 0 при |x| < \y\ і f3 (x, y) = 0 при |x| = \y\. 3.2.2. Метод найменших квадратів

Припустимо, що ми вивчаємо дві змінні величини x, y і шукаємо вигляд функціональної залежності між ними. З цією метою ми здійснюємо n випробу­вань над x,y і подаємо отримані результати таблицею пар (xi; yi) і відповідни-мим точками Ai (xi; yi) площини x0y (див. таблицю 1 і рис. 2).

Рис. 2

Таблиця 1

x ... xn

y y1      y2      y3     ... yn

Точка  A1   A2   A3   ... An Розташування точок A1,A2,...,An іноді дозволяє нам висунути гіпотезу стосовно вигляду y = f (x, a, b,...) залежності, про яку йдетья. Наприклад, рис. 2a веде до гипотези про лінійну залежність між x, y, а саме

y = ax + b.

З іншого боку, рис. 2б породжує гіпотезу про параболічну (другого степеня) за­лежність

y = ax2 + bx + c.

Наша мета - знайти параметри a, b,... найкращим (в деякому сенсі) чи­ном. Як один з таких часто-густо застосовується метод найменших квадратів.

Нехай, взагалі кажучи, ми припускаємо

y = f(x, a, b,...). ( 16 )

Введімо наступні величини (так звані помилки, або нев"язки)

Bi = f (x , a, b. . .) - yi , ( 17 )

тобто різниці між теоретичними значеннями f (xi,a,Ь...)и результатами yi екс­периментів над x і у. Метод найменших квадратів, розроблений Лежандром17 і Ґауссом18 і обґрунтований Ґауссом, полягає в наступному: ми шукаємо a,b,... так, щоб зробити мінімальною (або мінімізувати) суму квадратів нев"язок. Це значить, що ми повинні знайти мінімум наступної функції змінних a,b,... :

Ф^, b,...) = J в2 = J (f(xt, a, b...) - yi )2. ( 18 )

i=1 i=1

Для відшукання a, b, ... ми повинні розв"язати систему рівнянь

Фa(a,b,...) = 0, ФЬ(a,b,...) = 0,... ( 19 )

яка називається нормальною системою методу найменших квадратів.

Ми обмежимось двома гіпотезами, породженими розташуванням точок Ai (xi; yi) на рис. 1 a, 1 б, саме y = ax + b і y = ax2 + bx + c.

Якщо ми припускаємо

y = ax + b, ( 20 )

то ми повинні мінімізувати функцію

Ф^, b) = Jb2 = J (ax. + b - y1 )2. ( 21 )

i=1 i=1

Її частинні похідні по a и b дорівнюють

n Ґ     n n n \

^ = J 2(axi +b - yi)xi = 2[a J xi2 +b J xi- J xy

i=1 \     i=1 i=1 i=1

і

n Ґ     n n Л

ФЬ = J 2(ax + b - у. ) = 2І a J x% +bn - J y%

ri I'

i=1

17 Лежандр Адрієн Марі (1752 - 1833) - французький математик

18 Гаусс Карл Фридрих (1777 - 1855) - знаменитий німецький математик, астроном, фізик і геодезисті ми повинні розв"язати таку нормальну систему лінійних рівнянь відносно a, b

n n n

aJ xi2 +bJ xi = J xiy i;

i=1 i=1 i=1

nn

aJ xi +bn = J yi.

fфa = 0,

І фЬ = 0;

( 22 )

=1

=1

В разі гіпотези

y = ax2 + bx + c ми повинні мінімізувати функцію трьох змінних a, b, c

n n

b, c) = J в2 = J (ax,2 + bx. + c - у. )2

=1 =1

з наступними частинними похідними по a, b, c: ( 23 )

( 24 )

Ф = J 2(ax2 + bx, + c - у,) x2 = 2 a J x4 + b J x3 + c J x2 - J x2 y

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1