2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 42

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

i=1 v    i=1 i=1 i=1 i=1

n Ґ     n n n n

фЬ = J 2(axi2+bxi +c - yi) xi = 2[a J xi3 +b J x'+c J xi- J xiy

i=1 v    i=1 i=1 i=1 i=1

n Ґ      n n n Л

ФC = J 2(axi2 + bxi + c - yi) = 2a J x2 + b J xi + cn - J yi

Отже, необхідно розв"язати таку систему рівнянь відносно a, b, c:

n n n n

aJ xi4 +b J xi3 +c J xf = J xi2 yi,

i=1 i=1 i=1 i=1

n n n n

a J xi3 +b J xi2 +c J xi = J xiyi,

i=1 i=1 i=1 i=1

n n n

a J xi2 + bJ xi +cn = J yi.

i=1 i=1 i=1

Приклад. Величина x товарообігу (в тисячах умовних міжнародних оди­ниць, у.м.о.) і витрати y обертання (в у.м.о.) задано таблицею 2.

Розташування точок A, B, C, D, E, F (див. рис. 3) дозволяє нам висунути гіпотезу, що

Table 2

фa = 0, фЬ = 0, фC = 0;

( 25 )

xi

yi

Точки

xiyi

2

xi

1

60

551

A

33060

3600

Екстремуми функцій декількох змінних

2

80

576

B

46080

6400

3

140

628.5

C

87990

19600

4

160

673

D

107680

25600

5

240

768.5

E

184440

57600

6

320

863

F

276160

102400

J

1000

4080

 

735410

215200

Рис.3 дається рівнянням

y = ax + b,

тобто що витрати y обертання і величи­на x товарообігу пов"язані лінійною залежністю. На підставі (22) ми повин­ні розв"язати систему рівнянь

Г215200a +1000b = 735410, [     1000a + 6b = 4080.

Розв"язок системи є

a « 1.13, b « 489.71, так що залежність, про яку йдеться,

y = 1.13x + 489.71.

3.2.3. Умовні екстремуми А. Означення

Найпростіша задача на умовний екстремум: Знайти екстремуми функції двох змінних

z = f (M ) = f (x, y) ( 26 )

за умови, що x і y зв"язані рівнянням [умовою, обмеженням, співвідношенням]

Рис. 4

( 27 )

Геометричний сенс задачі полягає у відшуканні екстремумів функції

z = f (x, y) в точках кривої, визначеної рів­нянням (27).

Умовний максимум функ­ції двох змінних z = f (x, y) на кривій L = ABM0CD показано на рис. 4. Він дорівнює

z0 = f (M 0 ) = M 0 i>, і функція досягає його в точці M0 (x0; y0 L кривої. Для порів­няння на рис. 4 показано локаль­ний максимум тієї ж функції

z = f M1 ) = f (x,, У1 )=m 1P1, який відрізняється від умовного

максимуму.

Загальна задача на умов-ний екстремум: Знайти екстремуми функції n змінних

u = f (x)= f (X1, xn ) ( 28 )

за умови, що змінні x1,x2,..., xn пов"язані наступнимиk (k < n) рівняннями [умо­вами, обмеженнями, співвідношеннями]:

р     x2,..^ xn )= 0

р2 (xl, x2,... xn )= 0, ( 29 )

(Pk ^ x2,..., xn )= 0.

Б. Необхідна умова існування умовного екстремуму

Найпростіша задача (26), (27) на умовний екстремум.

Нехай умовний екстремум реалізується в точці M 0 (x0; y0), і принаймні одна частинна похідна функції р( x, y )відмінна від нуля в цій точці, наприклад

Py M0 ) = Py   У0 )* 0. ( 30 )

В цьому випадку рівняння (27) визначає y як неявну функцію від x в деякому околі точки M0(x0; y0 ),

y = y(x) (p(x, y(x)) = 0, p(x0, y0 ) = 0, y0 = y(x0 )) . ( 31 )

Якщо ми можемо безпосередньо знайти y з рівняння (27), то приходимо до задачі на звичайний локальний екстремум функції z = z(x) = f (x, y(x)) однієї

змінної x. Необхідна умова існування такого экстремуму є z'(x0) = 0, деталь­ніше

fx'U, У0)+ fy'U, У0) y'(x0) = 0. ( 32 )

Насправді нема необхідності выражати y через x з рівняння (27). Достат­ньо просто взяти до уваги, що y є функцією від x, неявно заданою цим рівнян­ням, і на підставі цього розглядами (27) як тотожність відносно x. Після його диференціювання (по x) отримуємо для точки M 0 (x0; y0)

P'x ^ y0 )+ py (X0, y0 ^ y'(x0 )= 0. ( 33 )

Тепер з (32) і (33) маємо

y'(x0 )=- P'x (X0, У0 )   yfo )=- fx,(x0, y0 )        P'x (X0, y0 ) = y0 )

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1