2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 43

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

0 ф ^ У0 У 0 fy'(x0, У0)        P'y (X0, У0)      fy'(x0, У0 У

y0) = fy,(xo, y0) ( 34 )

PX ^ У0 )      P'y (X0, У0 )

Якщо позначити рівні відношення (34) символом - я, де Л - деяке число, яке звичайно називається невизначеним множником Лагранжа, отримаємо

fx'(x0 , У0 ) + Л(Р (X0 , У0 ) = ^ fy'(x0 , У0 ) + Лру (X0, У0 ) = ^

= = ^ f,(x0, у0) = -лр (X0, У0), f;(x0, У0 )= -Яру (X0, У0 ).

P^(X0, y0 )      ру (X0, y0 )

Таким чином, ми довели таку теорему:

Теорема 4 (необхідна умова існування умовного екстремуму). Якщо функція двох змінних z = f (М) = f (x, y) досягає умовного екстремуму в точці

M0 (x0; y0 , то її координати задовольняють наступну систему рівнянь відносно

x, У, Я:

ffx'(x, y)+ Яр'х(x, y) = 0,

fy'(x, y)+ Яр (x,y) = 0, ( 35 )

р( x, y) = 0

Систему (35) легко запам"ятати, якщо ввести наступну допоміжну функ­цію (функцію Лагранжа)

L = Ь(Я, x, y) = f(x, y)+ Яр(x, у). ( 36 )

Необхідна умова існування умовного екстремуму (26), (27) переходить в систе­му рівнянь

VX(X, x, y ) = 0,

Ly (Я, x, y ) = 0, ( 37 )

[ LЯ(Я, x, y ) = 0.

' L'x (Я, x, y ) = 0, <Ly (Я, x, y ) = 0, или p(x y ) = 0,

Означення 6. Кожний розв"язок P0 (Я0, x0, y0) системи (37) називається стаціонарною точкою функції Лагранжа (36). Відповідну геометричну точку М 0 (x0, y0) можна назвати стаціонарною точкою вихідної функції z = f (x, y) (для найпростішої задачі на умовний екстремум (26), (27)).

З означення 6 і теореми 4 випливає, що функція z = f (x, y) може досягати умовного екстремуму тільки в стаціонарній точці функції Лагранжа.

Загальна задача (28), (29) на умовний екстремум

В загальній задачі на умовний екстремум вводять таку функцію Лагран­жа:

L = L(X, х) = Ь(і1, Я2,..., Хк, хх, х2,..., хп ) = f + Х1Ф1 + Х2ср2 +... + Хксрк

( 38 )

Теорема 5 (необхідна умова існування умовного екстремуму). Якща функція п змінних u = f (x) = f (x1,x2,..., xn) досягає умовного екстремуму в точ­ці x0 = (x10, х20,..., xn 0), то її координати задовольняють систему рівнянь відносно

Означення 7. Кожний розв"язок (Я0, x0) = (Я10, Я20,..., Xk 0, x10, x20,..., xn0) системи рівнянь (39) називається стаціонарною точкою функції Лагранжа (38). Відповідна геометрична точка x0 = (x10, x20,..., xn0) часто-густо називається ста­ціонарною точкою функції u = f (x ) = f (x1, x2,..., xn) (для загальної задачі на умовний екстремум (28), (29)).

Функція u = f (x ) = f (xj, x2xn) може досягати умовного екстремуму тількі в стаціонарній точці функції Лагранжа.

В. Достатня умова існування умовного екстремуму

Найпростіша задача (26), (27) на умовний екстремум

Нехай P0 (Х0, x0, y0) - деяка стаціонарна точка функції Лагранжа (36) для функції z = f (x, y), тобто один з розв"язків системи рівнянь (37). Введімо мат­рицю Гессе для функції Лагранжа в довільній точці Р(Х; x; y) для двох випад­ків:

a) у випадку, коли L"Xx (Х0, x0, y0) = cp'x (x0, y0 0, беремо її у вигляді

Х1, /^^^ Хк , xl, x2,..., х,

n

( 39 )

або ж

H(f, P(X, x, y)) = H(f, X, x, y) =

0

(p'x (X У) Py (X У)

( 40 а )

PX(x, У)  L'Xx (X, x, y)  L'Xy (X, x, y) рУ (x, у)  L"yx (X, x, y)  L; (X, x, y)

б) коли Ж VX (X0, ^ y0 ) = pX (X0, y0 ) = 0, але L£ (K X0, У0 ) = p^ (x0, У0 ) ^ 0,

то беремо її у вигляді

 

LX'x(X,

x,

y)

LXy (x,

x,

y)

LX (x, x,

y )1

H (f, P(X, x, y)) = H (f, X, y, x) =

l;x(x,

x,

y)

 

x,

y)

L"x (x, x,

У)

 

I L;x(x,

x,

y)

L"x (x,

x,

y)

l; (X, x,

y )J

r

0

 

 

(x y)

 

 

x, y) ^

 

H(f, P(X, x, y)) = H(f, X, y, x) =

Py (x, y) l; (x, x, y) l; (x, x, y)

( 40 б )

(x, У)  L'Xy (X, x, y)  LI (X, x, y)y Перший головний мінор матриці дорівнює нулю, А1 = 0, а другий відм­ний, А2 < 0, в будь-якій точці. Розгляньмо значення третього головного мінора в стаціонарній точці P0(X0; x0; y0), тобто

Аз(Xo, Xo, y0)= detH(f, ^ Xo, y0) =

для матриці (40 а) і 0 p^(xo, yo) рУ (xo, yo)

pX (xo, yo) L'L (Xo, Xo, yo) L'Xy (Xo, Xo, yo ) рУ (xo, yo )   Ll ^ Xo, yo)   Ll ^ Xo, yo)

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1