2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 44

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

0 yo) рУ (xo, yo)

pX (xo, yo) L'L (Xo, Xo, yo) L'Xy (Xo, Xo, yo ) рУ (xo, yo )   Ll (Xo, Xo, yo)   Lw (Xo, Xo, yo)

для матриці (40 б).

Теорема 6. Нехай для стаціонарної точки P0 (X0, x0, y0) функції Лагранжа:

а) принаймні одна з частинних похідних функції р( x, y) відмінна від нуля в точці M0(xo; У0);

б) значення А3 (X0, x0, y0) третього головного мінора А3 матриці Гессе в стаціонарній точці відмінне від нуля.

1. Якщо

А3(X, XQ, y0)< О,

то функція z = f (x, y) має умовний мінімум в (геометричній) точці M0 (x0; y0). 2. Якщо ж

А3 (X0, xo, y0 )> 0,

то функція досягає в точці M 0 (x0, y0) умовного максимуму. Приклад. Знайти умовні екстремуми функції

за умови

2 2

z = x - y

x2 + y2 = 4,

тобто на колі радіуса 2 з центром в початку координат.

Перший крок: введення функції Лагранжа та знаходження її критичних точок.

f (x,y) = x2 - y2, p(x,y) = x2 + y2 - 4;

L(A, x) = f (x, y) + Ap(x, y) = x2 - y2 + X(x2 + y2 - 4); L'x (A, x) = 2x + 2Ax = 2x(l + A), L (A, x) = -2y + 2Ay = 2y(-1 + A), LA (A, x) = p(x, y);

L'x (A, x ) = 0, Ly (A, x ) = 0, x(l + A) = 0, (a) y(-1 + a) = 0, (b) x2 + y2 - 4 = 0. (c)

Системи рівнянь відносно критичних точок функцаї Лагранжа, як прави­ло, нестандартні і вимагають час від часу неабиякої кмітливості. Так, отриману нами систему ми будемо розв"язувати для двох випадків, які визначаються рів­нянням (а).

1 випадок: x = 0; (c) => y = ±2, (b) => A = 1.

2 випадок: 1 + A = 0, A = -1; (b) => y = 0, (c) => x = ±2.

Ми отримали чотири стаціонарні точки функції Лагранжа и відповідні геометричні стаціонарні точки заданої функції, саме:

і>(A;x{;y ) = і>(-1; 2; 0),M1 (2; 0);(Xy2) = ^2(-1; -2; 0),M2(-2;0); Рз (A3;    Уз ) = P3 (1;0; 2), Mъ (0; 2); PA (AA;    y4) = PA (1;0; - 2), MA (0; - 2).

Другий крок: дослідження стаціонарних точок на існування в них умов­ного экстремуму.

Частинні похідні другого порядку функції Лагранжа дорівнюють

lAa (A, x, y) = pA (x, y) = 0 LAx(A, x, y) = p'x(x, y) = 2 x, LAy(A, x, y) = p'y(x, y)=2 y

L'x (A, x, y) = 2 + 2A, L; (A, x, y) = L; (A, x, y) = 0, L"yy (A, x, y) = -2 + 2A. A. Для точок p (-1; 2; 0), M1 (2; 0) і P2 (-1; - 2; 0), M2 (- 2; 0) ми повинні взяти матрицю Гессе для функції Лагранжа в формі (40 а), бо частинна похідна L"Ax (A, x, y) = p'x (x, y) = 2x відмінна від нуля в точкахM1 (2; 0), M2 (- 2; 0). Маємо

Ґ

0

p

x (x, y)

P'x (x, У)  L'X (A, x, y)  L; (A, x, y)

vpy (x, y) l; (a, x, y) l; (a, x, y)

Я(f, P(A, x, y)) = або просто

Я(f, P(A, x, y)) = Я(f, A, x, y) =

py (x, y) ^   С 0      2x 2 x   2 + 2A

2y

0

2y ^ 0

- 2 + 2A

СLAX(x, y)    LA (x, y)      L'Ay (x, y)

Ay '

LxA(x, У)       (A, x, y)  Lxy (A, x, y)

vLyX(x, y) l; (a, x, y) l; (a, x, y)

2y >

С 0      2 x 2 x   2 + 2A 0 ч2 y      0      - 2 + 2AJ

а) Для точки P1 (-1; 2; 0) (і відповідно для геометричної точки M1 (2; 0))

0 4 0

А з (-1,2,0) = det Я (f, P (-1,2,0)) = det Я (f, -1,2,0)= 4   0    0 | = 64 > 0.

0

б) Для точки P2 (-1; - 2; 0) (і відповідно для M2 (- 2; 0))

0

A3 (-1, - 2,0) = det Я (f, P2 (-1, - 2,0)) = det Я (f, -1, - 2,0)=- 4    0     0 | = 64 > 0

-4

 

-4

0

0

0

0

-4

0

На підставі теореми 6 в обох точках M1 (2; 0) и M2 (- 2; 0) задана функція має умовний максимум, рівний (± 2)2 - 02 = 4.

Б. Що стосується другої пари стаціонарних точок PA; x3;уъ) = P3(1;0; 2), M3(0; 2) и P4(Я4; x4;y4) = P4(1;0; - 2), M4(0; -2), то для них ми беремо матрицю Гессе в формі (40 б), бо в точках M 3 (0; 2) і M4 (0; - 2) частинна похідна LA (A, x, у) = p'x (x, у) = 2x дорівнює нулю, але час­тинна похідна L"ly (A, x, у) = ру (x, у) = 2у відмінна від нуля. Маємо

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1