2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 45

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

H(f, P(A, x, у)) = або просто

ф у) (P'x у)   1     Г 0

ру (x, у) l; (a, x, у) l; (a, x, у)

і (x, уL (A, x, у)       (A, x, у)

Px

2у   - 2 + 2A

2x 0 2 x "\ 0

2 + 2A

ГLAA(x, у)    L{y (x, у)      LA (x, у)'

l;a(x, у) L;y (a, x, у) l; (a, x, у)

L;a(x, у)  L'x (A, x, у)  L" (A, x, у)

H( f, P(A, x, )) = H( f, A, , x) =

К уа

Г 0       2 у 2 x ^

2 у   - 2 + 2A 0

2 x       0 2 + 2A

а) Для точки P3 (1; 0; 2) (відповідно для M3 (0; 2))

А3 (1; 0; 2) = det H (f, P3 (1; 0; 2)) = det H (f, 1, 2, 0) = б) Для точки P4 (1; 0; - 2) (відповідно для M4 (0; - 2)) А3 (1; 0; - 2) = det H (f, P4 (1; 0; - 2)) = det H (f, 1, - 2,0) =

0 4 0 4 0 0 0   0 4

= -64 < 0.

0

-4 0

- 4 0 00 04

= -64 < 0 .

На підставі тієї ж теореми функція в точках M3 (0; 2) и M4 (0; - 2) має умовний мінімум, рівний 02 - (± 2)2 = -4.

Отже, дана функція в точках M1 (2; 0) і M2 (- 2; 0) кола x2 + у2 = 4 досягає умовного максимуму, рівного 4, а в точках M3 (0; 2) і M4 (0; - 2) кола - умовно­го мінімуму, рівного - 4.

Загальна задача (28), (29) на умовний екстремум

Нехай (Я0,x0) = (Я0,Яго,..., Як0,x10,x20,..., xn0) - стаціонарна точка функції Лагранжа (38), тобто один з розв"язків системи (39). Введімо в розгляд дві мат­риці.

а) Першою з матриць є матриця частинних похідних функцій (29)

( dp1(x)   dp1(x) dp1(x)^

( 40 )

0(x)= x2       x ) =

dx,        dx2 dx

Припускається, що значення матриці (40) в точці (x0) = (x10, x20xn0) має ранг

к, тобто містить принаймні один ненульовий мінор k-го порядку. Ми зупинмось на випадку, коли відмінним від нуля є наступний мінор (так званий якобі-ан19):

dp(xo)\

)

dpi(xo)

dpi(xo)

 

dx2

dp2(x0)

dp2(x0)

dx1

 

dpk (xo)

dpk (xo)

dx1

dx2

dp2(xo)

dpk (xo)

( 41 )

b) Друга матриця - це матриця Гессе для функції Лагранжа (3 8) H (Ь,Я, x ) = H (L, Я, Я,..., Як, х, x2 H (L,A, x ) = H (L,^,X2,..., Як, x2

2     xn ) ,

( 42 )

1   2     xn ) =

L"

Я2Я1

L""

ЯкЯ1

L""

L""

Я1 Я2

L""

Я2Я2

L""

ЯкЯ2

L""

L L""

Я1 Я

L\..

L

ЯкЯк

L

Lx Я

LA

Я1 1

L

Я2 1

L L

x1x1

Lx x

LA

Я2 n

L L

x1 xn

LAx

 

f 0 .

.. 0

 

 

=

0 .

L\ .

xlЯl

.. 0

xlЯk

L .

Lx x .

xlxl

L"

Akxn

.. L"x"x

x1 xn

 

L"

 

Lx x .

xnx1

. L"

xn xn

19 На честь німецького математика Якобі (Карла Густава Якоба) (1804 - 1851).

Елементи матриці, які знаходяться на перетині перших к рядків і стовпчиків, дорівнюють нулю, бо частинні похідні першого порядку функції Лагранжа по A,A2,...,Як - то є функції (29), які від Я1,Я2,...,Як не залежать. Відповідно перші к головних мінорів матриці Гессе дорівнюють нулю,

al 2 =... = а к = 0. Теорема 7 (достатня умова існування умовного екстремуму). Нехай для стаціонарної точки (Ao, xo) = (Aio ,A2oЯк o, xio, x2oxno) функції Лагранжа:

1. Якобіан (41) відмінний від нуля;

2. а; (i > к) - перший ненульвий головний мінор значения H(L,A0, x0)

матриці Гессе (42) в точці (Ao, xo)= (Aio ,A2o ,...,Як o, xio, x2oxno );

3. Знак цього мінора signAt = sign(-\f, де к - кількість умов (29). Тоді:

а) якщо всі наступні головні мінори а . мають той же знак,

signAj = sign(-1)к, j = i +1, i + 2,n, то геометрична точка x0 = (x10, x20,..., xn0) є точкою умовного мінімуму;

б) якщо знаки головних мінорів ai, агч1, аг+2,..., an чергуються,

signA г =(- 1)к, sign4+l =(- 1)к+1, sign А+2 =(- 1)к+2 то точка x0 = (x10, x20,..., xn0) є точкою умовного максимуму;

в) якщо принаймні один з головних мінорів a j, i < j < n, дорівнює нулю,

отримуємо так званий сумнівний випадок, який для свого дослідження вимагає більш складної теорії;

г) в решті випадків умовний екстремум не досягається. Приклад. Знайти умовні екстремуми функції

u = xyz

при двох обмеженнях (умовах)

x + y + z = 5   (pi (x, y, z) = x + y + z - 5), xy + yz + zx = 8   (p2 (x, y, z) = xy + yz + zx - 8).

Перший крок: запровадження функції Лагранжа та відшукання її стаціо­нарних точок. Функція Лагранжа

L = L(A, Я2, x, y, z) = f + A1p1 + A2p2 = xyz + A1(x + y + z - 5) + A2 (xy + yz + zx - 8). Її частинні похідні першого порядку

LA1 = pl = x+y+z - 5 LA2 = p2 = xy+yz+zx - 8,

L" = yz + A + A2 (y + z), Ly = xz + Я + A2 (x + z), Lz = xy + Я + A2 (x + y). Необхідна умова існування умовного екстремуму дається системою рівнянь

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1