2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 46

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

lx =o,

Ly =o, L"=o,

L"

p2 =0;

yz + Я + Я2 (y + z) = 0, (a)

xz + Я + A2 (x + z) = 0, (b)

xy + A + A2 (x + y) = 0, (c)

x + y + z -5 = 0, (d)

[ xy + yz + zx -8 = 0. (e)

Додамо рівняння (a), (b), (c), і, враховуючи (d), (e), отримаємо

3Я+10Я2 + 8 = 0. f)

Віднімаючи рівняння (b) з (a), а потім (c) з (b), отримаємо

(y - x)(z + Я )= 0, (g) (z - y)(x + Я ) = 0. (к)'

Зауважимо, що рівняння (g), (h) можно скласти інакше. Саме, з рівнянь (а), (b), (c) маємо

yz + Я2 (y + z) = -Я1, ,      . /ч/ч/ч

xz + Я (x + z)=-A        yz + A2(y + xz + A2(x + ^       (y - + A2(y - x)=0,

Я( ) A'      xz + A2(x + z )= xy + A2(x + У),     (z - y)x + A2((z - y ))=0,

xy + A2(x + y ) = -A,,

отже,

(y - x )(z + Я2 )= 0, (g) (z - y )(x + Я2 ) = 0. (h)

Далі ми повинні розглянути такі чотири випадки:

1)y = x,z = y; 2)y = x, x = -A,; 3)z = -A,,z = y;4)z = -A,,x = -A,.

1) Випадок x = y = z неможливий на підставі рівнянь (d), (e).

2) У випадку x = y = -Я2 рівняння (c) дає Я = Я, отже, рівняння (f веде

2 4 до квадратного рівняння 3Я2 + 10Я2 + 8 = 0 з коренями Я21 = -2, Я22 -3. Звідси

випливає, що Я11 = (Я21)2 = 4, Я2 = (Я22)2 = ^. Відповідні значення x, y b z (з огля­ду на рівняння (d)) такі: 2, 2,1 и 4/3, 4/3, 7/3. Остаточно отримуємо стаціонарні точки

1 ^ '  2 V 9     З   З   З З

функції Лагранжа і відповідні геометричні точки

M і(2; 2; l), M ; З; З

даної функції.

У випадках 3) і 4) ми аналогічно знаходимо чотири стаціонарні точки

p3(4, -2, 1 2, 2> p4(4, -2, 2, 1, 2> ^ , З , З , |) ^ ,-4 , 4 , З , 4J

(парами P3, P5 і P4, P6) і відповідні геометричні точки даної функції M3(1; 2; 2), M4(2; 1; 2),M5^3; 4;4j, M6^4;3;4

Другий крок: дослідження стаціонарних точок на існування умовного екстремуму. З цією метою ми повинні провести підготовчу роботу, пов"язану з введенням матриці частинних похідних першого порядку функцій p1, p2, які за­дають обмеження вихідної задачі, і відповідних матриць Гессе.

А. Матриця функцій p1, p2 є

0(x, y, z ) = dp dp1 dp1 dx     dy dz

dp2      dp2 dp2

f    1 1 1 l

V y + z   x + z   x + y J

dx     dy dz

Знайдімо значення матриці 0(x, y, z) в геометричних точках M1 - M6 даної функції і відповідні якобіани:

D х,рі)

D (х, у ) ф2) = ф(х2, у2, z2) =

D 1,р2 )

1 1

і  ї і ії

V

1 1

3 3

(

3   3 4

= 0, але

1

D (у, z ) 1 1

D (х, у )

I 1

II 11

D 1,р2 )

1

Ф 0;

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

ї

і

ії

=

іі

іі

8

J

 

3

3j

3 3

= 0, але

і ії V4   3 3

і

ії іі іі

V3  3   3 J

Рі 2) _ Рі 2)

0(х, у)

і і

4 31

D (у, z ) ф0;   Ф(М 4) =

11

11 8 3 3

Ф 0;

3  4   3/ Б{х, у)

Ф0;

і і 8 іі

3 3

Ф0;Ф(М 6) =

    і ії іі   8 іі

3    3 3

Рі 2)

Р(х, у)

ф0

Ми бачимо, що для всіх точок М1 - М6ранг матриці ф(х, у, z) дорівнює 2.

Розгляд отриманих якобіанів показує, що для стаціонарних точок P3 - Р6 ми повинні використовувати матрицю Гессе у формі

H (ЦІ1,Х2, х, у, z), але для точок Рі, P2 - матрицю Гессе іншої форми, а саме:

H 2 С^^^ у z, х). Б. Утворюємо матриці Гессе в довільній точці (ХХ,Х2, х, у, z).

L\\ = Lh1A2 = L""2A1 = L""2A2 = 0; Т = ТтхЛ1 = ТтЛ1у = ТтуЛ1 = Lh1z = L"h1 = 1; Тхх = Туу = L"z = 0;

Ll>x = L'"h = у + z;    у = L'yh = х + z; L'^ = L'"h = х + у; L'Xy = L; = z +h; L'XZ = L; = у + h; L; = L = z + X2.

H1 (L,A, К х, у, z) =

( L"hh

L\2

l:

l:

l: z ^

 

(0

0

1

1

1

L"hh

L"hh

l:

A2 х

l:

LA2 z

 

0

0

у + z

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1