2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 47

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

х + z

х + у

L'\

L'\

L

XX

L"

х

L"

z

=

1

у + z

0

z + h

у + h2

 

 

L"

у

L

L"

 

1

х + z

z + A2

0

х + h

V zA1

 

Lz

z

Lz

z

 

 

v1

х + у

у + h2

х + A2

0

Екстремуми функцій декількох змінних

 

 

 

H 2

 

 

 

 

 

 

l;

1

L'L z

L" >

 

( °

0

1

1

1

L"

L";2jl

 

L'L z

A2 z

l;

 

0

0

X+z

X + y

y + z

у\

L'\

у

L"

УУ

L"

L"

=

1

x + z

0

X + 2

z + 2

 

 

L"

L"

zz

L"

zX

 

1

X + y

X + 2

0

y + ;2

 

L'\

XA-2

L"

L"

Xz

L"

XXX j

 

v1

y + z

z + 2

y + ;2

0

В. Тепер ми вже можемо безпосередньо досліджувати стаціонарні точки функції Лагранжа на наявність в них умовних ектремумів. В задачі задано дві

умови (к = 2), тому (— 1)k = (— 1)2 = 1 > 0, і для застосовності теореми 6 ми очіку­ємо перш за все появи додатних перших ненульових головних мінорів в значен­нях матриці Гессе для стаціонарних точок, які досліджуємо. а) Для точки р (4,—2, 2, 2,1) (і точки М1 (2; 2; 1))

 

(0

0

l

l

1 ^

 

0

0

3

4

3

H2(L; 4,-2, 2, 2, l) =

l

3

0

0

—1

 

l

4

0

0

0

 

v1

3

—1

0

 

4

4 =

0,

0

0

0

0

=0,

А з =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

1

1

1

0

0

1

 

0

0

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

3

4

3

0

0

3

= 0; А4 =

0

0

3

4

= 1 > 0, А 5 =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

0

0

—1

 

 

 

 

1

3

0

0

 

 

 

 

 

 

1

3

0

 

 

 

 

 

 

1

4

0

0

0

 

 

 

 

1

4

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

—1

0

0

Функція має умовний мінімум 4 в точці M1 (2; 2; l).

(і точки M2(4/3; 4/3; 7/3))

= 2 > 0.

b) Д п,16   4 4 4 7

b) Для точки PJ —,—

21 9    3 3 3 3

H 2(L; і>) = H 2

L 16 — 4 4 4 7

; ~9~,— 3, 3, 3 , 3

(0

0

1

1

 

0

0

11

8

11

 

 

3

3

3

1

11

0

0

1

1

8 3

0

0

0

1

11

1

0

0

V

3

 

 

j

4 = 4 = 4 = 0,

4 =1>0, 4 = —2 < 0.

Функція має умовний максимум 112/27 в точці M2(4/3; 4/3; 7/3). Відзначимо такий факт. Якби ми спробували досліджувати точки

P(4; —2; 2; 2; 1), ^; — 4; 4; 4; 7

\ 9     3   3   3 3, за допомоги матриці ГессеH1(L,;1, ;2, x, y, z) (а не H2(L,;, ;2, y, z, x)), отри­мали б

А1 = А2= Аъ= А4 = 0

і тільки А5 Ф 0, А5 > 0 (signA5 = sign(— 1)к, к = 2) Ми могли б говорити про досяг­нення функцією умовних екстремумів в цих точках, але нічого - про характер ектремумів.

с) Для точки P3 (4,—2,1, 2, 2) (і точкиM3 (1; 2; 2))

P3) = H1(L; 4,—2,1, 2, 2) =

(0

0

1

1

1 ]

0

0

4

3

3

1

4

0

0

0

1

3

0

0

—1

v1

3

0

—1

0j

А1 = А2 = А3 = 0, А4 =1>0, А. = 2 > 0.

Функція має умовний мінімум 4 в точці M3(1; 2; 2). d) Для точки P4 (4,—2, 2,1, 2) (і точкиM4(2; 1; 2))

P4) = H1(L; 4,—2, 2,1, 2) =

(0

0

1

1

1 ]

0

0

3

4

3

1

3

0

0

—1

1

4

0

0

0

v1

3

—1

0

0j

А1 = А2 = А3 = 0, А4 =1>0,

А, = 2 > 0.

Функція має умовний мінімум 4 в точці M4(2; 1; 2). e), f) Таким же чином ми встановлюємо, що для точок P Гі6— 4 7 4 4]     (16 —4 4 7 4

А1 = А2 = А3 = 0, А4 = 1 > 0, А5 = —2 < 0, і тому функція має в точках

51 з з з/   ЧЗ З З

умовний максимум 112/27.

Відповідь. Дана функція досягає умовного мінімуму 4 в геометричних точках Mj, Mз, M4 і умовного максимуму 112/27 в точках M2, M5, M6.

3.2.4. Абсолютні екстремуми

Нехай функція двох змінних z = f (M) = f (x,y) неперервна в замкненій

обмеженій області D. На підставі теореми 5 з п. 1.2.2 вона набуває найбільше M

і найменше m значения в D: існують такі точки M1 (x1, y1 D, M2 (x2, y2 D, що

f (M1) = f (x1, У1) = m = min f (M) = min f (x, y), f (M 2) = f (x2, У2) = M = mD^x f (M) = mDax f (x, y)

Числа m, M називаються абсолютними ектремумами функції в області D, і задача полягає в їх відшуканні.

Розв"язуючи задачу знаходження m, M, ми повинні взяти до уваги, що

будь-яка з точокM1 (x1, y1), M2 (x2, y2) може знаходитись або всередині області D, і тоді вона є стаціонарною точкою функції, або на її границі.

На підставі цього ми можемо сформу­лювати наступне

Правило. Щоб знайти найбільше і най­менше значення (абсолютні екстремуми) фун­кції двох змінних z = f(M) = f(x,y), непере­рвної в замкненій обмеженій області D, дос­татньо діяти наступним чином: Рис. 5 1. Знайти всі внутрішні стаціонарні точ-

ки функції (наприклад, точки N, P на рис. 5).

2. Знайти стаціонарні точки на границі області (наприклад, точки R, S, Tна рис. 5).

3. Знайти значення функції в усіх цих точках, а також в кутових точках границі області, якщо вони є (наприклад, точки A, B, C на рис. 5)

4. Вибрати найбільше й найменше з отриманих значень.

Важливо відзначити наступне. Відшукання стаціонарних точок функції на границі області D є частиною задачі на умовний екстремум. Тому в разі потре­би ці точки можна знаходити за допомоги функції Лагранжа.

Границя області D може складатися з декількох частин (наприклад, AB, BC, CA на рис. 5). В цьому випадку стаціонарні точки шукають на кожній з них. Приклад. Знайти найбільше й найменше значення функції двох змінних z = f (x, y ) = x2 + y2 - 2x - 4y в області D, визначеній нерівностями x > 0, y > 0, x + y < 7.

Функція неперервна в замкненій обме­женій області D, яка є трикутником OAB, утвореним координатними осями і прямою x + y = 7 (см. рис. 6).

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1