2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 5

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

Приклад. Функція y = x2 є нм при x 0,

lim x2 = 0,

x—0

бо

I   2|     I   12

x  = |x| < s,

якщо

x < s, - є < x < s, x є U0 = (- s, s).

Отже,

Vs > 0, 3U0 = (-s, s), Vx: (x є U0 => |x2\< s). Приклад. Функція y = 1/x є нм при x ±oo,

lim Vx = 0.

Теорема 3. Всі елементарні функції є нм в своїх ну-

Рис. 12 лях. Доведімо, наприклад, що sin x є нм в точці x = 0, тобто

limsin x = 0.

x0

■З тригонометричного круга ми бачимо (рис.12), що

sinx< x для 0 < x < л/2 і |sin x\ < |x|, якщо - nj2< x <л/2.

Отже, I sin x < s, якщо |x| < s, або - s < x < s, або ж x є U 0 = (-s, s), і ми може­мо написати

Vs > 0, 3U0 = (-s, s), Vx є (-л/2, л/2): (x є U0 => Isinx\ < s) => limsinx = 0.^

1 1 xТеорема 4. Всі наступні функції: a) , n є К, при x ±ао; b) ax для

xn

a > 1 та при x -ас; c) ax для 0 < a < 1 і при x +oo є нм.

Можна запам"ятати ці факти за допомоги графіків відповідних функцій.

Е. Зв"язок між границями функцій і нескінченно малими

Існує найтісніший зв"язок між границею функції й нескінченно малою в одному й тому ж граничному переході. З"ясуємо його на прикладі границі фун­кції в точці.

Теорема 5. Функція f (x) може мати границю b в точці a тоді і тільки то­ді, якщо в деякому околі точки її можна зобразити сумою

f (x ) = b + a( x),

де a (x) - нм при x a.

a) Якщо існує границя

lim f (x ) = b,

x—a

тобто

Vs > 0,3 Ua, Vx є D( f): (x       =| f (x) - b |< s), то функція a(x) = f (x)-b є нм при x a і f (x) = b + a(x) в Ua. b) Нехай, навпаки,

f (x) = b + a(x),

де a (x) - нм при x a, тобто

Vs > 0,3 Ua, Vx є D(f): (x є U = |a(x) =| f (x) - b |< s).

Звідси на підставі означення границі випливає, що існує границя

lim f (x ) = b .■

x—a

Є. Нескінченно великі (нв)

Нехай, наприклад, задано функцію y = f (x) однієї змінної x є Ж1, і прямує до точки а, x a.

Означення 21. Функція y = f (x) називається нескінченно великою (не) при x a (або - в точці а),

f (x) = +ао,

x—a

якщо для як завгодно великого додатного числа N існує окіл Ua точки а такий, що для будь-якого значення аргументу з проколеного околу U'a виконується не­рівність

f (x) > N.

В символічному запису

VN > 0, 3Ua, Vx є D( f): (x f (x) > N).

Зауваження. Якщо функція y = f (x) є не при x a, причому вона має тільки додатні (або від"ємні) значення в якомусь околі точки a, то кажуть, що lim f (x) = +с (відповідно lim f (x) =).

x—a x—a

Аналогічно означаються поняття не при x a - 0, x a + 0, x — ±аа і виокремлюються випадки прямування не до +ао або - а. Приклад. Функція 1/x є не при x 0, причому

lim 1 = -ас, lim 1 = +ао.

x—0-0 x x—0+0 x

■ Для як завгодно великого додатного числа N маємо 1    1    ,      1 1     ,     ( 11

> N, якщо 1 > \x\N, x < —, або--< x < —, або ж x єU0 =\--,

|x| N N        N {   N N

Таким чином,

'11 V.     J 1............

= оо.

VN > 0, 3U0 =\--, — І, Vx є D

Зокрема, функція 1/ x прямує до , якщо x прямує до 0 зліва (при x < 0), і до , якщо x прямує до 0 справа (при x > 0),

lim 1 = -о,    lim 1 =,

x—0-0 x x—0+0 x

f

1

 

== lim

1

x єU 0 == y

 

> N

 

 

 

x

J

x—0

x

бо при x < 0 вона є від"ємною, а при x > 0 - додатною.и

Приклад. За допомогою тригонометричного круга довести, що

lim tan x = +00.

x—л/ 2-0

■Нехай N > 0 як завгодно велике, і а = arctan N (див. рис. 13). Тоді для будь-якого x = arctan M з інтервалу

а 1 = 1 arctan N 2 J   { 2

виконується нерівність tan x = M > N, а це значить, що

lim tan x = +oo.

x—Л 2-0

В більш розгорнутому символічному вигляді ми можемо №   отриманий результат записати так:

VN > 0, ЗІ а

л

(

Vx:

x є І а

л

=> tan x > N

J

lim tan x = +oc .■

x—Л 2-0

Приклад. Функція y = x3 є нв, якщо x ±oo, до того

Рис. 13

ж

lim x3 = +oo, lim x3 = -00.

x—+cO x—-cO

■Якщо x +oo, то (в припущенні, що аргумент x вже став додатним)

x3 > N для x > x'0= 34N. Якщо ж x -oo, то (припускаючи, що арґумент x вже є від"ємним) маємо

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1