2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 52

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

Нехай y = y(x) - шукане рівняння лінії. На підставі умови і геометрично­го сенсу похідної можемо записати

y ' (x ) = x \

Ми повинні знайти функцію y(x), знаючи її похідну x2. Очевидно, що

y(x ) = x 3/3 + C,

де C - деяка стала. Ми можемо знайти її значення з умови y(2) = 3, звідки

3 =       + C, C = 1/3. Отже, лінія, про яку йдеться в прикладі, має рівняння

y (x )= x 3/3 +1/3.

Невизначений інтеграл 207 Означення 1. Функція F (x) називається первісною функції f (x) на дея­кому інтервалі [a, b], якщо для будь-якого x є [a, b] похідна F'(x) функції F(x) дорівнює f(x),

F (x) = f(x) ( 1 )

Приклад 2. Функція F(x)= x3 /3 з попереднього прикладу є первісною фу­нкції f (x) = x2, а функції

F1 (x) = sin x, F2 (x) = sin x - 5, F3 (x) = sin x +16

- первісними функції f (x) = cosx на множині всіх дійсних чисел 9Ї1 = (-да, да), бо для довільного x є Ш1 маємо

F' (x) = x2, F '(x) = F2' (x) = F3'(x) = cos x = f (x).

Теорема 1 (існування первісної). Якщо функція y = f (x) неперервна на інтервалі [a, b], то вона має первісну на цьому інтервалі.

Справедливість теореми буде доведено пізніше.

4.1.2. Властивості первісної

1. Якщо функція F (x) є первісною для функції f (x), то для будь-якої ста­лої C сума F(x)+ C також є первісною.

■Дійсно, якщо F'(x) = f (x), то для будь-якої сталої C маємо

(F (x) + C )' = F '(x) + C ' = f (x) + 0 = f (x), тобто F(x) + C - первісна функції f (x).■

2. Якщо функціїF1 (x), F2 (x) є первісними функції f (x) на інтервалі [a, b], то вони відрізняються тільки сталим доданком, тобто їх різниця є сталою на [a, b],

F1 (x) - F2 (x) = C = const. ■За умови F1 '(x) = F2'(x) = f (x), і тому тотожньо на [a, b]

(F (x) - f (x))' = f '(x) - F' (x) = f (x)- f (x) = 0.

На підставі наслідку з теореми Лагранжа різниця F1 (x)- F2 (x) є сталою на ін­тервалі [a, b].^

Остання властивість дозволяє отримати загальну форму первісної даної функції f(x) : будь-яку первісну можна подати у вигляді суми

F(x)+ C, ( 2 )

де F(x) - якась одна з первісних функції f(x), а C - довільна стала.

Можна сказати, рівність (2) дає множину всіх первісних функції f (x).

4.2. НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕҐРАЛ

4.2.1. Означення невизначеного інтеграла

Означення 2. Множина всіх первісних функції f (x) називається неви-значеним інтегралом цієї функції і позначається символом

j f (x )dx.

Символ J називається знаком невизначеного інтеграла; f (x) - підінтеґра-льною функцією, f (x)dx - підінтеґральним виразом, x - змінною інтегрування, C - сталою інтегрування.

На підставі означення 2 і формули (2) ми можемо написати

j f (x)dx = F(x) + C, ( 3 )

де F(x) - якась одна з первісних функції f(x), а C - довільна стала.

Приклад 3. Ми вже знаємо, що функція F(x) = x3/3 є однією з первісних функції f(x) = x2, а тому

j x2 dx = x 3/3 + C.

Взагалі, для довільного дійсного числа а, відмінного від -1, функція

F (x ) = xa+V (а +1) однією з первісних степеневої функції

f (x)= xaтже

xa+1

f xadx =--+ C, а Ф -1.

J a+1

Зокрема, при а = 0 маємо

x 0+1

I dx = I x°dx =-= x + C.

0+1

У випадку а = -1 ми маємо функцію f (x) = 1/ x, однією з первісних якої є функція F(x) = ln| x, так що

fdx = in x + c .

J x

Знаходження первісної (або невизначеного інтеграла) функції f(x) нази­вається її інтегруванням.

Проінтегрувати функцію означаеє знайти її первісну (або її невизначе-ний інтеграл).

На підставі означення невизначеного інтеграла і таблиці похідних ми мо­жемо утворити таблицю найпростіших інтегралів.

Таблиця найпростіших інтегралів

r xa+1

1. I xadx =-+ C, а

+ 1

1 а) f dx = x + C1 б) f     =      + C ;    1 в) f dx = -- + C. J J Vx J x x

x

+ C.

3. fexdx = ex + C; 3 a) fe^dx = —    + C, k - стала. J J к

ax ax

4. f axdx =-+ C; 4 а) f akxdx =-+ C, к - стала.

J ln a J к ln a

5. f cos xdx = sin x + C; 5 a) f cos axdx = sin ax + C, a - стала.

6. f sin xdx = - cos x + C;        6 a) f sin axdx = -1 cos ax + C , a - стала.

a

dx dx

7. і-2= tan x + C = ?gx + C. 8. і ——— = - cot x + C = -ctgx + C.

^ f  dx ^„„fdx       1 1

9. I2-= arctan x + C = arctgx + C 10. I2--       = — arctan — + C = arctg— + C

x2 + 1 x2 + a2    a a a a

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1