2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 53

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

лл  f   dx .       _ ^ f    dx . x _

11.    ,        = arcsin x + C. 12.    , = arcsin + C.

13. H-г =  in

x+a

+ C (формула високого логарифму).

+ a + C (формула довгого логарифму).

J Vx2 +a

Формули 1 - 9, 11 є очевидними, в справедливості інших, зокрема фор­мул 13, 14, ми впевнимось нижче, але корисно записати їх в таблиці з самого початку. Всі інтеграли таблиці будемо називати табличними.

Приєднаємо сюди ще чотири формули, які часто-густо зустрічаються в застосуваннях, а саме:

+C.

15. f V x2 + adx = xyjx2 + a + a ln x + V x2 + a J 2 2

* ^ f / 2 2~ T x / 2 2~ a . x ~ 16.   Va - x dx = va - x +--arcsin+ C .

J 9 In

--V" л    "I--ШІ/аШ—

2 2 a

„„їж,,    eax(b sinbx + a cosbx) „

17.1 eax cos bxdx = ^-2-2-^ + C.

J a2 + b2

10 f ax7 j    eax(a sin bx - b cos bx) 18. I e  sin bxdx = —^-2-2-^ + C.

a2 + b2

a2 + b2

inbx-a2 + b

4.2.2. Властивості невизначеного інтеграла

1. Похідна невизначеного ітеграла дорівнює підінтегральній функції; ди­ференціал невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу:

(j f (x)dx) = f (x),   d (j f (x )dx)= f (x )dx.

(j f (x )dx) =(F (x)+ C)' = F' (x ) = f (x), d (j f (x)dx)=(j f (x )dx) dx = f (x )dx

Наслідок. Справедливість інтегрування можна перевірити диференцію­ванням результату.

Перевіримо, наприклад, справедливість формул 13, 14 таблиці найпрос­тіших інтегралів. Маємо

-1 ' ' '

1   f x - a Л    f x - a Л     1   x + a (x - a ) (x + a )-(x - a )(x + a )

2a v x + a)    v x + a)    2a x - a (x + a )2

f1

ln

x-a

Л

-

 

 

 

v 2a

 

x+a

)

1   x + a (x + a)-(x - a) = 1   x + a     2a    =        1        = 1 2a x - a      (x + a)2        2a x - a (x + a)2    (x - a)(x + a)   x2 - a

ln x + v x2 + a

1

1

x + V x + a

x + Vx2~-+a v    л/x2 + a )   x + Vx2 + a    л/x2 + a ylx^

x + V x + a    л/x + a      Vx + a

Таким чином, функції в правих частинах формул 13, 14 дійсно є первіс­ними підінтегральних функцій (пізніше ми дамо ще одне доведення цих важли­вих формул). Набагато простіше перевірити справедливість формул 1 а, 1 б, 1 в, 3 а, 4 а, 5 а, 6 а, 10. Що стосується формул (15)-(18), то ми їх виведемо пізніше з інших міркувань.

2. Невизначений інтеграл похідної (диференціала) будь-якої функції дорі­внює сумі цієї функції і довільної сталої:

j F '(x )dx = j dF (x) = F (x) + C.

Наслідок. За допомоги інтегрування будь-яка функція може бути (з точ­ністю до адитивної сталої C) відновлена з її похідної чи диференціала. Приклад 4.

j dx = j xdx = x + C.

3 (адитивність). Невизначений інтеграл алгебричної суми скінченної кіль­кості функцій дорівнює такій же алгебричній сумі їх інтегралів, зокрема

j (f (x) + g (x ))dx = j f (x )dx + j g (x)dx.

■Достатньо довести, що похідні лівої і правої частин останньої рівності збігаються. Але на підставі властивості 1 ми маємо з одного боку

(f(f (x )+ g (x ))dx )= f (x ) + g (x ),

а з іншого

(j f (x )dx + j g (x )dx) =(j f (x )dx) +(j g (x )dx) = f (x )+ g (x). ^

4 (однорідність). Сталий множник може бути винесений за знак невизна-ченого інтеграла:

к - const, j kf (x)dx = к j f (x )dx.

Доведіть цю властивість самостійно (диференціюванням). Наслідок (лінійність). Для довільних функцій f (x), g(x) і сталих к, l

f f (x) +1 g(x))dx = к j f (x)dx +1 j g(x)dx.

На підставі властивості лінійності і таблиці найпростіших невизначених інтегралів ми нерідко можемо здійснювати так зване пряме, або безпосереднє інтегрування.

Приклади.

5  f     dx     =r     dx     =r        dx        = 1 r     dx = . f 36 + 25x2 ~J 36 + 25x2 =f 25(3^25 + x2) ~ 25f 36/25 + x2 =

1 r     dx 11 x    ^    1 5x^

= — —^-^ =---— arctan — + C = — arctan--+ C .

25 j (6/5)2 + x2    25 6/5 6/5 30 6

•W13 - 15x2 = ^ 15(1315 - x2 ) =      ]^АЩ5)2 - x2 =

1        .      x       ^1        V1~5x = —;= arcsi^^^^= + C =—:= arcsin1=- + C .

л/15 д/13/15 л/15 л/13

7  f      dx       =f(sin2 x + cos2 x)dx =f   sin2 xdx   +f   cos2 xdx j sin2 xcos2 j    sin2 xcos2 x      j sin2 xcos2 x   j sin2 xcos2 x

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1