2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 54

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

= dx2+ f~d~x~ = (tan x + C1)+ (- cot x + C2) = tan x - cot x + C =

22

sin2 x - cos2 x   ^   - 2(cos2 x - sin2 x)   ^     „ cos2x ^

=-;-+ C =-^-'- + C = -2 —-= -2cot2 x + C,

sin xcos x 2sin xcos x sin2x

де C = C1 + C2 - довільна стала з огляду на довільність C1 и C2. 8. Як наслідок маємо

11 9

---, +-

36 + 25x2   д/13 - 15x2    sin2 xcos2 x) d= 11І

dx

- 9-\

dx

+7./ dx

36 + 25x

,2

Vl3 - 15x

,2

sin x cos x

22

f 1 5x ^

= 11-1 arctan--+ C

130 6

1

- 9 ­

arcsin

+ C2 1 + 7-(- 2cot2x + C3)

J

11      5 x

arctan— 30 6

9

arcsin

- 14cot2 x + C,

де C = 11C1 - 9C2 + 7C3 - довільна стала (внаслідок довільності C1, C2, C3).

Далі ми не будемо вводити довільні сталі для кожного невизначеного ін­теграла, а сразу використовуватимемо одну довільну сталу С.

Основними методами обчислення невизначених (а пізніше і визначених) інтегралів є заміна змінної (спосіб підстановки) і інтегрування частинами. До ґрунтовного вивчення цих методів ми зараз і переходимо.

4.3. ІНТЕҐРУВАННЯ ПІДСТАНОВКОЮ (ЗАМІНА ЗМІННОЇ)

Теорема 2. Нехай функції f (x), x = p(t), cp'(t) неперервні у відповідних інтервалах, а функція x = p(t) має неперервно диференційовну обернену функ­цію такому випадку є справедливою така формула (формула заміни змінної)

Формула передбачає повернення до попередньої змінної x після інтеґрування по змінній t. Слово "диференціювання" завжди означає обчислення диференціала.

■Перший спосіб доведення. Достатньо довести, що похідні лівої и правої частин формули (4) рівні. Маємо:

( 4 )

f (x )dx) = f (x);

(f f (cp(tMt)dt)x = (f f (cp(tMt)dt)'  t[ = f (cp(tMt)1 = f (cp(tMt)-- =

= f M )) = f (x)

Другий спосіб доведення. Якщо F (x) - первісна функції f (x), то функція F (<p(t)) є первісною функції f (cp(t ))q>'(t), бо

(f M )))t = f m )M (t )=f M )M).

Отже, на підставі означення невизначеного інтеґрала маємо

f f (p(t ))p'(t )dt = F (p(t)) + C = F (x)+ C = f f (x)dx

Формула (4) часто-густо застосовується "справа наліво", і в цьому випад­ку зручніше записати її в такому вигляді

p(x) = t диференціювання p' (x x)dx = dt

Формулу (5) можна витлумачити таким чином: якщо підінтеґральна функція є добутком функції f від функції p>(x) на похідну p(x) цієї останньої, то треба покласти p(x ) = t.

В формулах (4), (5) замість t можна використовувати будь-яку іншу літе­ру (крім, звичайно, літери x).

Приклад 9. Довести справедливість формули 5а в таблиці найпростіших інтеґралів

= f f (t )dt.

( 5 )

fcosaxdx -

Нехай ax = t, d (ax) = dt,

|adx = dt, dx = dt a

= f cos t dt = f cos tdt = sin t + C = sin ax + C aa

1

a

Таким чином,

sin ax + C

f cos axdx = —: a

Приклад 10. Доведіть самостійно, що f sin axdx

a

cos ax + C.

Приклад 11. Доведення справедливості формули 5а в таблиці найпрості­ших інтегралів

|Нехай x = at\

adt       r    adt       1 t dt

dx

2 2

x + a

dx = d (at), dx = adt

(at )2

+a

adt

a2 (t2 +1)   a 112 +1

1 ^1 x

= arctan t + C =— arctan + C. a a a

Приклад 12. Обчислити невизначений інтеграл

f x

Підінтегральна функція

44-x2

dx.

44-x2

/4 - x2

є добутком функції від p(x) = 4 - x2, а саме функції 2/^Jp(x), на похідну функ­ції cp(x) (з точністю до сталого множника - 2), бо p(x )= (ї - x2) = -2 x. На підставі формули (5) ми можемо покласти p(x) = 4 - x2 = t, або навіть краще

4 - x2 = t2.

Припускаючи для визначеності, що t > 0, маємо t = л]4 - x2. Отже,

xdx

V4-.

4 - x2 = t2, t > 0, d (4 - x2 )= d (t2) - 2 xdx = 2tdt, xdx = -tdt

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1