2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 55

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

Vt2   J t j

•tdt t

Приклад 13. Обчислити невизначений інтеграл

sin 20xdx

л/100 - cos2 20x

Підінтегральна функція sin20x

: • sin 20x

л/100 - cos220x   л/100 - cos2 20x є добутком функції від p(x) = cos20x, а саме функції 1^100 -p2 (x), на похідну

1

x

ункції p(x ) = cos20x (з точністю до сталого множника - 20), оскільки p'(x ) = = -20sin20 x. Тому, поклавши

p(x) = cos 20 x = y,

ми зводимо даний інтеграл до табличного, а саме до інтеграла № 12 (з a = 10),

sin 20xdx л/100 - cos2 20x

1 f dy

cos20 x = y, d (cos20x) = dy, - 20sin20xdx = dy,sin20xdx = —— dy

20

20

dy

1       .   y    „      1       . cos20x =--arcsin--+ C =--arcsin--+ C.

10       20 10

20-^ю2 - y2 20

Приклад 14. Випадок, коли підінтегральна функція є дріб, чисельник якого є похідною знаменника. Інтеграл зводиться до табличного інтеграла № 2,

бо

f '{x )dx f (x )

Нехай f (x ) = z, d (f (x )) = dz, f (x)dx = dz

= [ — = lnl z\ + C = lnl f (x) + C z

( 6 )

Наведімо декілька прикладів застосування формули (6).

1

чdx      1 p adx     1 p(ax + b) dx   1, , T,

a) •-^—-= p--= ln ax + b\ + C,

Jax + b   a* ax + b   a*    ax + b a

( 7 )

зокрема

dx x + b 1

Ax + b) dx     . . I---= ln|x + b + C.

dx

22 x - a

x+b

1 Г 1

( 7 a )

x2 - a2    2a I x - a   x + a

1

1

1

2^ v x - a   x + a dx

1 Гр dx    j dx ^    1   j (x - a)       j(x + a) dx

2a v x - a  •'x + a J   2a ^  x - a ^

v

x+a

= (lnlx - a - lnlx + a|)+C = ln 2a 11 v

2a

x-a

x+a

+C.

в)      —dx =[x-dx = J (x +1)(x1)+ 1dx = ffx -1 + -^—\dx =

J x +1       J    x +1 J        x +1 J V x +1J

1

J

J

t

= [ xdx - [ dx + [ dx = [ xdx - [ dx + [(x +1) dx = x x + lnl x +1 + C.

J J J   V -I- 1      J J J--.1 -1 і і

x +1 2

г) [ xdx = 1 [ 2axdx = 1 [(ax2+ b) dx = 1 l 2 j ax2 + b    2a j ax2 + b    2a ^    ax2 + b       2a '

Приклад 15. Довести, що

xdx 1

JV ax2 + b a

= — л/ ax2 + b + C

+ b + C.      ( 8 )

( 9 )

■Нехай

ax2 + b = z2, z > 0, z = -у/ax2 + b .

Тоді

J

xdx ax2 + b = z2, і

d (ax2 + b) = d (z2)

2axdx = 2zdz

xdx = — zdz a

zdz

= [a-=1 [ dz =1 z + C =1 л/ ax2 + b + C

z      a a a

( 10 )

Приклад 16. Часто-густо доводиться мати справу з інтегралами

r (^4x + B)dx r (^4x + B)dx [ ax2 + bx + с' [ Vax2 + bx + с '

які містять квадратний тричлен

ax2 + bx + с.

Вони зводяться до суми двох інтегралів - типу (8) або (9) і табличного - за до­помоги заміни змінної

1

(ax2 + bx + с) = t.

( 11 )

Після обчислення похідної і заміни змінної x на t маємо

1^      /\ b 1 Г    b , К

(2ax + b) = t, ax ^ — = t, x = — I t I, dx = dt; 2 2 a V    2 J a

Ax + B = _I t-_] + B = _t + |B-

a V    2 J        a     V      2a J

ax + bx + с = a -

a

+ I t I + с = a v    2 J a

Г b2 ^ t2 - bt+

4

a

t - bt + bt +

b2 b2

b2

 

1

Г

t2

b2

 

1

Г 2 b2 - 4ас) t--

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1