2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 56

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

-

+ ас

a

 

--

+ ас

a

 

2

J

 

V

4

J

 

V    4 J

b b2

t--+ с =

a 2a

=1Г t2 -D

a V 4

де

D = b2 - 4ас - дискриминант квадратного трехчлена.

Наведімо два приклади застосування зазначеного методу. a) Використовуючи заміну (11), формулу (8) і табличний інтеграл № 13 (формулу високого логарифму), обчислимо інтеграл

(3x - 2)dx

4 - 8x

(3x - 2)dx 4 - 8x - x2

(4 - 8x - x2) =-(- 8 - 2x) = -4 - x = t,

x = -4 -1, dx = -dt, 3x - 2 = 3(- 4 -1) - 2 = = -14 - 3t,4 - 8x - x2 = 4 - 8(- 4 -1 )--(- 4 -1)2 == 4 + 32 + 8t-(16 + 8t +12) = 20 -12 = -(t2 - 20)

•(-14 - 3t)(- dt)

20-t2

= -[(3t + 14)dt =j3[   tdt +14[ [   12-20      V [ 12-2п [

tdt

dt

t2 -20

20

-lnl -(4-8x - x 2) +

= -- lnl 4-8x-.

7

2

2л/5 7

ln

- lnl 12-20| + —ln| ^        1 2V20

-4-x ^V2o

t-V20

t ^V20

C :

ln

-4-x ^V2o 4+x ^V20

C

4+x ^V20

+C

b) За допомоги формул (11), (9) і табличного інтеграла № 12 отримуємо

1 (3x - 2)dx л/4 - 8x - x2

1

(4 - 8x - x2) =-4 - x = t,

x = -4 -1, dx = -dt, 3x - 2 = -14 - 3t, 4 - 8x - x2 = 20 -12

■(-14 - 3t)(- dt) л/20 -12

2

1

1

2

2

t

= -1^ + 14J

■(3t + 14)dt л/20-12     ^ л/20-1

, dt = -W20-12 +14агс8Їп-^= + C = л/20-12 л/20

= —\M-8x - x2 +14 ar^sm -4-x 2л/5

+C

Приклад 17. Щоб обчислити невизначений інтеграл

dx

J л/3 + 2e5x '

покладімо

3 + 2e5x = z2, z > 0, звідки за допомоги інтеграла № 13 (формули високого логарифму)

J

dx

Ь + 2e5x dx

3 + 2e5 x = z2,

10e5xdx = 2 zdz, zdz 2zdz

5?* = 5(z2 - 3)j 2      zdz       2     dz 2 5 [ z (z2 - 3) = 5 [ = 5 [;

dz

)2

2 1

5 2л/3 ln/3

• + л/3

5л/3 ln л/3 + 2e5x /3

л/3 + 2e5 x + л/3 + C.

Приклад 18. Для доведення табличної формули № 14 використаємо так звану підстановку Ейлера

л/x2 + а = t - x,

за допомогою якої виразимо x, dx і квадратний корінь л/x2 + а через t. Маємо

dx

x2 + a

t2 - a

x=

2t

л/x2 + а = t - x, x2 + а = t2 - 2tx + x , dx

t2 + a

2t2

dt,yj x2 + a = t -

t2 - a    t2 + a

2t

2t

t2 + a

f 2t2 [ t2-

dt

+a

2t

= J ~ = ln| t + C = lnV x2 + а +

+C

2

1

2

x

4.4. ІНТЕҐРУВАННЯ ЧАСТИНАМИ

Теорема 3. Нехай u = u(x), v = v(x) - дві неперервно диференційовні функ­ції. Справедливою є наступна формула (формула інтегрування частинами):

( 12 )

J udv = uv - J vdu

■Диференціал добутку функцій u = u(x), v = v(x) дорівнює

d (uv) = udv + vdu.

Інтегруючи цю рівність (з використанням властивості 2 невизначеного інтегра­ла), отримуємо

J d(uv) = J udv + J vdu, uv = J udv + J vdu, J udv = uv - J vdu .■

Відповідно формулі (12) ми подаємо підінтегральний вираз у вигляді до­бутку двох функцій, саме u і dv. Після цього ми першу функцію диференціює­мо, а другу інтегруємо.

Приклад 19.

xdx                              dx dx I-2= Нехай u = x, dv =-—; тоді du = dx, v = I--= tan x

cos2 x

dx

dx

cos2 x

cos2 x

I

- sin x , r (cos x) dx

= x tan x - [ tan xdx = x tan x + [-dx = x tan x + [

cos x

= x tan x + ln|cos x + C.

cos x

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1