2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 57

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

Приклад 20.

J x sin 3xdx :

x•(-3cos3x J-J

1cos3xjdx: 3 J

Нехай u = x, dv = sin3xdx; Idu = dx, v = [ sin 3xdx = - cos 3x

3

=  x cos3x +  I cos3xdx =  x cos3x +----sin3x + C =  x cos3x +  sin3x + C.

3 3J 3 3 3 3 9

В разі необхідності інтегрування частинами можна здійснювати кілька ра­зів.

Приклад 21. Обчислити інтеграл

J(3x2 - 5x + 9)e4xdx. До бажаного результату ведуть два інтегрування частинами.

u = 3x2 - 5x + 9, dv = eAxdx;

J(3x2 - 5x + 9)e4xdx =

du = (6x - 5)dx, v = J e4xdx =  e4x

=1 (3x2 - 5x + 9)eAx -

- -4 J(6 x - 5>4 xdx =

u = 6 x - 5, dv = e4 xdx; du = 6dx, v =1 e4 x

4 (3x2 - 5x + 9)e4x

4 V 4

(6x - 5>4x - 6 [ e4xdx I =1 (3x2 - 5x + 9>4x - — (6x - 5>4x +e4x + С.

1 16

3   „4 x

32'

Приклад 22.

J ln2 xdx = u = ln2 x, dv = dx => du = 2ln x , v = J dx = x = x ln2 x - J x 2ln x = x ln2 x - 2 J ln xdx = = x ln2 x -   x ln x - J x —I = x ln2 x - 2(x ln x - J dx)= x ln2 x - 2(x ln x - x) + C.

u = ln x, dv = x; du = dx x; v = x

Иноді інтегрування частинами веде до простого рівняння відносно шука­ного інтеграла

Приклад 23. Нехай

I = Je2x cos3xdx.

Після двох інтегрувань частинами отримуємо

пусть u = e2x, dv = cos3xdx; du = 2e2xdx, v = J cos 3xdx = 1-sin 3x

I = J e2x cos3xdx:

1

e2x sin3x

3

-  J e2x sin3xdx =

положим u = e x, dv = sin 3xdx; du = 2e2 xdx, v = [ sin3xdx = - cos3x

3 1    2 x

^— e   sin3x -

3

2 Г 1 e2x cos3x + 2 [ e2x cos3xdx 1 = e2x sin3x + 2e2x cos3x - 41, 3 3J J   3 9 9

12 4

I = -e2x sin 3x ^-e2x cos3x I

9

— Є      Sill "I--

39

Ми прийшли до рівняння відносно I, а отже

13 т 1

I = — e2x sin3x + 2 e2x cos3x, I = [ e2x cos3xdx = — e2x sin3x + — e2x cos3x + C.

^ Q J 1^1^

9 3

9

13

13

1

Таким чином,

I = J e2x cos3xdx = -—3 (3sin3x + 2cos3x)+ C.

Аналогічними міркуваннями ми можемо отримати загальні формули 17, 18 таблиці найпростіших інтегралів.

Приклад 24. Обчислити невизначений інтеграл

I = J V x2 + adx.

= JV x2 + adx =

u = V x2 + a, dv = dx .       xdx г .

Vx2 + a J 2

= x\x + а -

x2dx Vx2 + а

= Wx2 + а - J (x r++2—)0 dx = Wx2 + а - J Vx2 + adx + aJ 2

V" ' " "

dx

x + a

x + a

= Wx2 + a -1 + a ln x + Vx2 + a .

Таким образом,

21 = xVx2 + a + a ln x + лІx2 + a

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1