2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 58

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

I = [V x2 + adx = xVx2 + a + ln

J 9 9

x + v x + a + C,

і ми довели справедливість формули 15 в таблиці найпростіших інтегралів. Формулу 16 спробуйте довести самостійно.

Зауваження. Не існує загальних правил для вибору u, dv . Але в деяких випадках відповідні вказівки зробити можна.

Для інтегралів вигляду

J P(x)ekcdx,   J P(x)sin kxdx,   J P(x) cos kxdx,

де P(x) - многочлен, слід покласти u = P(x). У випадках інтегралів вигляду

J P(x) ln xdx, J P(x) arcsin xdx, J P(x) arccos xdx, J P(x) arctan dx, J P(x)агс cot dx

треба покласти dv = P(x)dx.

Наведімо декілька прикладів.

J

I

Приклад 25.

J arcsin xdx =

u = arcsin x, dv = dx; du =  ,dx =, v = [ dx = x

v—x2 J = x arcsin x - J­xdx

нехай 1 - x2 = t2 і t > 0 ; тоді - 2xdx = 2tdt, xdx = — tdtl

- tdt

= x arcsin x - —;= = x arcsin x + dt =

J Vt2 J

= x arcsin x +1 =

=vt—

= x arcsin x + v 1 - x + C.

Для обчислення проміжного інтеграла можна було б застосувати готову формулу (9) при a = -1, b = 1.

Приклад 26.

J x—гс cot xdx 

u = агс cot x, dv = xdx; du

dx x v = 2

x2 +1

2 і 2 2 і 2

= агс cot x + —-- dx = — агс cot x + —

2

= — агс cot x + -2 2'

2J 1 + x 1 rf. 1

2   1 + x2

dx

1

1 + x2

dx

агсcotx

22

+  [[dx-J +1

1 + x2

dx

= агс cot x + (x - arctan x) + C. 2 2

При обчисленні невизначених інтегралів часто доводиться комбінувати методи заміни змінної та інтегрування частинами. Наводимо приклади. Приклад 27.

|x = t2, let t >0,|

J sin 4xdx =

dx = 2tdt

J sin t  2tdt = 2J t sin tdt

u = t, dv = sin tdt, du = dt, v = - cos t

== -t cos t - J (- cos t)dt = -Vx cos л/x + J cos tdt = = /x cos л/x + sin t + C = /x cos л/x + sin л/x + C.

Приклад 28.

Je4*dx 

x=t \dx = 3t2 dt

3J t2 etdt u = t2, dv = e'dt du = 2tdt, v = el = -t2et -2Jtetdt) =

2

t

= з(-2e -2Jtetdt)=

= з(-2et -2(tet -Jetdt)) =

u = t,    dv = edt, |du = dt,     v = et

= 3(t2et - 2(tet - et)) = 3(-/x2evx - 2(l/xe-x - e-x))+ C = e-x (-Vx2 - буХ + б)+ C. Приклад 29.

exdx ,       r exdx

1 xexdx л/1 + ex

u = x, dv =  e   x г, du = dx, v = [

1 + ex = t2

V1+ex'      '   J л++ё

2tdt

exdx = 2tdt

= J2tdt = 2J dt = 2t = ^VT+ex

= 2W1 + ex -2JV1 + exdx = 1 + e x = t 2 , e xdx = 2tdt, dx

2tdt 2tdt

ex   t2 -1

= 2W1 + ex - 2J t  4-—— = 2W1 + ex - 4J

t2 -1

t dt

= 2W1 + ex - 4J (t2 -1 + l)dt

t2 -1

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1