2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 59

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

= 2W1 + ex - 4Jfl + -j Jdt =

= 2W1 + ex - 4

Приклад 30.

r x2e3xdx [(3x + 2)2

Г    1 , t ^ ln

2

t-1

t + 1

C = 2W 1 + ex - 4

л/1 + ex +-lnl

2

V1 + ex -1

+ ex +1

C .

u = x 2e3 x, dv =     (3x + 2)2 = du = x(2 + 3x )e3 x,

dx (3x + 2)2

3x + 2 = t, dx = dt

3

1 dt

3t

x2 e3x

3(3x + 2)   [V  3(3x + 2)y

u = x, dv = e3 xdx; du = dx, v = J e3xdx = 3 e3x

c(2 + 3x )e3 x =--;-г +

x 2e3x

+

3(3x + 2)   3 V 3

3t      3(3x + 2)

—-r +  I xe3xdx =

3(3x 2) 3

[ e3xdx

3

1 Г 1       3x      1 Г 3x

xe   I e  dx I =

11

x2e3x 1 Г1      3x     1    1    3x \     e

-T + -\ - xe x----e   | + C =

3(3x + 2)   3 V 3 3 3    J 3

3x

x2      x 1

- +---

3x + 2   3 9 27(3x + 2)

Приклад 31. Розглянемо останній приклад, в якому успішно застосову­ються два інтегрування частинами і заміна змінної.

 [(arccos x )2 dx =

/         42  .     .   .      2arccos xdx u = (arccos x) , dv = dx; du =--,       , v = x

x(arccos x )2 + 2 J x arccos xdx

Vl - x2

нехай arccos x = t (0 < t < i);

тоді — <dx== = -dt, x = cos t, sin t = V 1 - x Vl - x2

= x(arccos x)2 - 2 J t cos tdt = |u = t, dv = cos tdt; du = dt, v = sin t| =

= x(arccos x)2 - 2(t sin t - J sin tdt) = x(arccos x)2 - 2(t sin t + cos t) + C =

= x(arccos x)2 - 2(4/1 - x2 arccos x + x)+ C. Переважна більшість наведених вище прикладів засвідчує, що операція інтегрування є набагато складнішою, і в усякому разі набагато громіздкішою, ніж операція диференціювання. Більш того, нижче ми наведемо приклади фун­кцій, які взагалі не можна проінтегрувати (тобто подати результат інтегрування у вигляді елементарної функції). Проте існують класи функцій (або класи інтег-ровних функцій), про які можна сказати, що їх принципово можна проінтегру­вати. Деякі з таких класів ми розглянемо нижче.

4.5. ШТЕҐРУВАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ДРОБІВ ТА ФУНКЦІЙ

Означення 1. Раціональною функцією називається функція, яку можна представити у вигляді раціонального дробу, тобто у вигляді відношення двох многочленів

\   Pn (x)    anxn + an , xn-1 +... + a, x + a0 „ ,     „ . ,.

a,(x) bmxm+bm,xm-1 +...+b,x+b0 n    m        v ;

Означення 2. Раціональний дріб (1) називається правильним, якщо мно­гочлен в чисельнику є меншого степеня, ніж в знаменнику (n < m), і неправи­льним в протилежному випадку (n > m).

Теорема 1 (виділення цілої частини неправильного раціонального дробу). Кожний неправильний раціональний дріб може бути поданий у вигляді суми деякого многочлена (так званої цілої частини) і правильного раціонального

дробу.

■Нехай n > m . Поділивши чисельник Pn (x) на знаменник Qm (x) за допо­моги відомої процедури ділення многочленів з остачею, ми отримаємо

Pn (x) = Qm (x)S(x) + Г(x),

де S(x) і r(x) - многочлени (відповідно частка і остача), причому остача є многочленом меншого степеня, ніж Qm (x). Замінивши тепер чисельник правою частиною останної рівності та почленно поділивши на Qm(x) , матимемо

R(x) = Ш = Qm (x)S(x) + Г(x) = S( x) + 1^, Qm (x) Qm (x) Qm«

де раціональний дріб

Qm ( x)

є правильним. ■

Приклад 1. Виділити цілу частину неправильного раціонального дробу

R( x) = —л

x + 1

а) Перший (теоретичний) спосіб. Після ділення x2 на x +1 маємо

.2

(x + 1)(x- 1) +1 =      1 + 1

x2 =(x + 1)(x-1) +1, S(x) = x-1, r(x) = 1, _jl_=V*-"A*-V-"= x-1 +

x +1 x +1 x +1

b) Другий спосіб. Віднімаючи і додаючи 1 в чисельнику, отримаємо x2     x2-1 +1    (x2-1)+1        , 1

__ ^_L_— v_1 j__

= x-1 + ■

x +1      x +1 x + 1 x + 1

Серед правильних раціональних дробів слід особливо виділити так звані елементарні, або найпростіші, раціональні дроби 1- 4 типів A

1. -, де A, a, b - довільні сталі;

ax + b

A

2.--, A, a, b - сталі, а k - довільне натуральне число;

(ax + b)

Ax+B 4 .     .       .       2 ,

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1