2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 6

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

x3 < - N для x < x0 = -XfN Теорема 6. Всі наступні функції є не: a) xn, n є К для x ±оо; b) ax для a > 1 і x +oo; c)axпри 0 < a < 1 і x ; d)loga x для x — +о або x 0 + 0; e) tan x при x л/2 + лк є Z) зліва або справа; g) cot x для x лк є Z) зліва і справа. Все це можна запам"ятати за допомогою відомих графіків назва­них функцій.

Ж. Співвідношення між нескінченно великими (нв) і нескінчен­но малими (нм)

1 1

1. Якщо функція a (x) є нм, то f (x) =--нв (символічно: — = оо).

а( x) 0

■Нехай, наприклад, функція a (x) є нм при x a. Тоді на підставі озна­чення нм, сформульованого в п. 1.2.5, маємо

Vs > 0, 3Ua, Vx є D (f): x єІІ'а == |a(x )< є ==

Нехай далі

1 = N,   *   = f (x). s        a(x)

Якщо число є є як завгодно малим, то обернене число

N

1 >

1

можна вважати як завгодно великим, звідки отримуємо

Vs > 0, 3Ua, Vx є D(f): x єU'a=\f(x) =

На підставі п. 1.2.7 це означає, що функція

1 1

>- = N, f (x)> N s

f(x)=

1

a( x)

є не при x am

Аналогічно можна довести і інший факт, а саме:

2. Якщо функція f (x ) є не, то a(x) = 1--нм (символічно: — = 0).

f(x) 00

Про існування зазначених співвідношень можна було здогадатись вже вище на підставі наведених прикладів нм і нв (див. теореми 4, 6).

1.1.3. Властивості границь

Означення 22. Функція f (x) називається обмеженою зверху на множині

X <z D(f), якщо існує деяке число С1 таке, що для будь-якого x є X виконує­ться нерівність f (x) < С1,

3С1,Vx є X : f (x)< С1. Аналогічно, функція f (x) називається обмеженою знизу на множині X с D(f), якщо

3С2, Vx є X : f (x)> C2. Нарешті, функція f (x) називається обмеженою на X , якщо вона є там об­меженою і зверху, і знизу:

ЗС1, ЗС2, Vx є X : C2 < f (x)< C1 Теорема 6. Функція f(x) є обмеженою на множині X тоді і тільки тоді,

якщо

ЗС, Vx є X: I f (x) < C. Спробуйте довести цю теорему самостійно.

А. Загальні властивості границь

Всі наступні властивості є справедливими для будь-якого типу гранич­ного переходу. Для визначеності перші п"ять розглядаються для випадку грани­ці функції в точці а, а остання - для границі числової послідовності.

1 (єдиність границі). Функція може мати не більше однієї границі в точці а, тобто якщо

lim f (x ) = 61,   lim f (x ) =

x—a x—a

то b1 = b2.

■Доведімо властивість від супротивного. Нехай b1 Ф b2, наприклад b1 < b2. За означенням границі,

Vs > 0,3Ua, Vx є D(f): x єи'а = b1 - s< f(x)< b1 - s, b2 - s < f(x)< b2 - s. Нехай s - настільки мале, що b1 - s < b2 - s. Тоді в U'a отримуємо f (x) < b - s < b2 - s < f (x), або ж f (x) < f (x),

Границя функції 27 що неможливо. Отримане протиріччя доводить справедливість властивості.^

2. Якщо існує границя

lim f (x ) = b,

x—a

то функція f (x) є обмеженою в деякому околі точки a. ■За означенням границі

Vs > 0,3Ua, Vx є D(f): (x      ^>\f(x)-b| < s => b - s < f(x)< b + s). Таким чином в U'a функція f (x) обмежена зверху числом b + s, знизу -числом

b - s, а отже є обмеженою.^

3. Функція f (x), яка має в точці а додатну границю,

lim f (x) = b > 0,

x—a

сама є додатною в деякому околі точки.

■Доведення випливає з доведення попередньої властивості, якщо взяти s настільки малим, щоб різниця b - s була додатною. Тоді в U'a матимемо

0 < b - s < f (x), f (x )> 0.^

4 (наслідок). Якщо в деякому околі Ua точки a функція f (x) додатна або невід"ємна (f (x)> 0 або f (x)> 0), то її границя в цій точці, якщо вона існує, є невід"ємною,

lim f (x)> 0.

x—a

■Властивість дуже просто доводиться від супротивного. Припустімо про­тилежне тому, що треба довести, а саме, що

lim f (x)< 0.

x—a

На підставі властивості 3 функція повинна бути від"ємною в якомусь околі точ­ки а, нехай в Ua 1. Тоді в спільній частині околів Ua, Ua1 вона є і додатною (або

невід"ємною) і в той же час від"ємною. Отримане протиріччя доводить спра­ведливість властивості.^

Зауваження. Умова властивості 4 припускає можливість як строгої, так і нестрогої нерівності (f (x)> 0 або f (x)> 0) в Ua, але відносно границі функціїможна стверджувати тільки нестрогу нерівність.

Приклад. Для будь-якого натурального n виконується нерівність

1

-> 0, n

але границя

lim- = 0

дорівнює нулю і, отже, не є додатною.

5 (існування границі проміжної функції). Якщо в деякому околі Ua 1 точки

a для трьох функцій g(x), f (x), h(x) виконується нерівність

g(x)< f (x)< h(x), причому функції g(x) і h(x) мають в точці а одну й ту ж границю b,

lim g(x) = lim h (x) = b,

x—a x—a

то в тій же точці існує границя проміжної функції f (x), яка також дорівнює b,

lim f(x) = b .

x—a

Факт

lim g (x) = lim h(x ) = b

x—a x—a

означає, що

Vs > 0,3Ua2, Vx є D(f): x є^2 =>   , ( )( .

' ^        '      \h(x)-b < s, b - s < h(x)< b +

Нехай U'a= U'a1 П U^2 - спільна частина околів і U'a 2. Тоді в U'a виконую­ться всі задіяні тут нерівності, звідки отримуємо

b - s < g(x) < f (x) < h(x) < b + s ,

а отже

b - s < f (x)< b + s, I f (x)-b < s. Таким чином, нами доведено, що

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1