2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 60

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

3. —2-, де A, B, a, b, c - довільні сталі, а ax + bx + c - ква-

ax + bx + c

дратний тричлен з від"ємним дискримінантом (d = b2 -4ac < о);

Ax + B l2

4. -;-, k - довільне натуральне число, і D = b -4ac < 0.

(ax2 + bx + c J Дроби типів 1, 3 ми вже інтеґрували в п. 4.3.

Для інтеґрування найпростішого раціонального дробу 2-го типу можемо здійснити заміну змінної

ax + b = t

(зробіть це самостійно!).

Інтеґрування найпростішого раціонального дробу 4-го типу за допомоги підстановки

1 (ax2 + bx + c) = t

2

веде до лінійної комбінациї простого інтеґрала

tdt

f(t2+m J

та інтеґрала t2 + m2 = z,

tdt = — dz 2

1 ,

f       =1 f z-kdz = ^Z-) + C = (t (+ m )) + C

J =f dt

k   f(t2 + m2)

Для його обчислення при малих значеннях k (k = 2, k = 3) можна застосувати

заміну змінної t = m tan z. В загальному випадку існує спеціальна (так звана

рекурентна) формула, яка дозволяє звести Jk до Jk-1, Jk-1 до Jk-2, ..., J2 до J1

з відомим (табличним) інтеґралом

f   dt       1 t

J1 = I ~1-2 = arctan+ C.

1 t + m     m m

Приклад 2.

2dz

= f^ol^ =1 f c0S2 zdz =1 f i+^dz = •V   4   ^2    8J 8J 2

V cos2 zJ

= (f dz + f cos2zdz)= f z + 1sin2z ] + C = f arctan+ 1sin2arctan ] + C. 16VJ       J ;   16 V     2        J        16 V        2   2 2 J

Таким чином, можна сказати, що ми вміємо інтеґрувати найпростіші ра­ціональні дроби. Це дає нам можливість інтеґрувати довільниі раціональні дро­би з огляду на наступну теорему.

Теорема 2 (розвинення правильного раціонального дробу в суму найпро­стіших). Кожний правильний раціональний дріб можна представити у вигляді суми найпростіших раціональних дробів.

Справедливість теореми заснована на тому відомому факті, що будь-який многочлен з дійсними коефіцієнтами можна розкласти в добуток лінійних дво­членів і квадратних тричленів з від"ємними дискримінантами. В основі ж цього факту лежить основна теорема алгебри про існування кореня у будь-якого мно­гочлена степеня не нижче першого.

Ми не будемо доводити теорему 2 і не писатимемо відповідних загальних формул, а обмежимось кількома частинними випадками розвинень, які найчас­тіше зустрічаються на практиці.

r dt

x = 2 tan z, dx

2dz cos2 z

:2 + 4 = 4tan2 z-4(tan2 z +1):

4 4

cos2 ) Знаменник правильного дробу розкладений в добуток двох лінійних двочленів (ax + b)(cx + d). Відповідне розвинення в суму найпростіших раціо­нальних дробів має вигляд

Ax + B P Q

-        - + - ^

(ax + b)(cx + d)   ax + b   cx + d з невизначеними коефіцієнтами P, Q, які знаходяться так званим методом не-визначених коефіцієнтів.

б) Знаменник дробу розкладений в добуток (ax + b)(cx2 + dx + e) лінійного

двочлена і квадратного тричлена. Відповідне розвинення в суму найпростіших

раціональних дробів має вигляд

Ax2 + Bx + C     _   P   +   Qx + R (ax + b)cx2 + dx + e)   ax + b   cx2 + dx + e

з невизначеними коефіцієнтами P, Q, R.

в) Знаменник розкладений в добуток (ax + b)2 (cx2 + dx + e) квадрата ліній­ного двочлена і квадратного тричлена. Відповідне розвинення є

Ax3 + Bx2 + Cx + D _     P     +   Q   +    Rx + S (ax + b)2 (cx2 + dx + e)   (ax + b)2   ax + b   cx2 + dx + e

з невизначеними коефіцієнтами P, Q, R, S.

г) Знаменник розкладений в добуток (cx2 + dx + e)(fx2 + gx + h) двох квад­ратних тричленів. Цьому випадку відповідає розвинення

Ax3 + Bx2 + Cx + D     _   Px + Q    +    Rx + S (cx2 + dx + e)fx2 + gx + h )   cx2 + dx + e   fx2 + gx + h

з невизначеними коефіцієнтами P, Q, R, S.

З теореми 2 і властивості лінійності невизначеного інтеграла випливає можливість проінтеґрувати будь-яку раціональну функцію.

Правило інтегрування раціональної функції. Щоб проінтеґрувати ра­ціональну функцію, необхідно:

1. Виділити її цілу частину, якщо функція є неправильним дробом або мі­стить неправильний дріб.

2. Розкласти знаменник отриманого правильного дробу в добуток много­членів степеня не вище другого.

3. Розкласти правильний раціональний дріб в суму найпростіших.

4. Проінтеґрувати всі члени отриманої алгебричної суми.

5. Записати відповідь. Приклад 3.

f— dx _      +1)(x1) + 1dx _ {(x-1 +—1—^dx _ Їxdx-[dx + Jx+1        J        x+1 4 x+1J       J J

t

f   1   j     x2 r(x +1)        x1 і і

+-dx _--x +\--— dx _--x + In x +1 + C .

J x +1       2        J  x +1 2 1 1

Приклад 4. Обчислити невизначений інтеґрал

г dx

2 2

x - a

тобто довести формулу високого логарифму 13 в таблиці найпростіших інтеґ-ралів.

1-й крок (розкладання на множники знаменника правильного дробу).

x2 - a2 _ (x - a)(x + a).

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1