2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 61

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

2-й крок (розвинення дробу в суму найпростіших дробів з використанням методу невизначених коефіцієнтів).

1 1 A B

+

\-(x - a \x + a),    1 _ A(x + a) + B(x - a) (*)

x2 - a2    (x - a)(x + a)   x - a   x + a Дамо змінній x в (*) будь-які два значення, краще за все x _ a, x _ -a. Дістане­мо систему рівнянь відносно невизначених коефіцієнтів A, B,

x _ a x _-a 1 _ 2aA,    A _ ; л     -— ,

2a 1     _ 2a +   2a _ J_,__

1 _-2aB B___—x2 - a2    x - a   x + a    2a \ x - a   x + a

2a

3-й крок (інтеґрування отриманої алгебричної сумми). Маємо

Jx - a     2a* \ x - a   x + a J      2a [J x - a Jx + a J 1 л і      і   , і      i\   ^    1 , U-a\

-(in| x - a - in| x+a)+c _in j

+ C

— -A U Ш Л T U||T L,   — -111-

2a 2a   |x + a

Приклад 5. Обчислити невизначений інтеґрал

j (x2 - 27x + 14)dx _r (x - 3)(4 - 8x - x2) 1-й крок (розвинення підінтеґральної функції, котра є правильним раціо-

нальлним дробом з розкладеним на множники знаменником, в суму найпрості­ших дробів).

x2 -27x +14        A       Bx + C    і /      ч/    2\ (     3)(4   8-21 _ 3 + -2 \(x - 3)(4 - 8x - x h

x2 - 27x +14 _ a(4 - 8x - x2)+ (Bx + C\x - 3). (**) Надаючи змінній x в (**) три довільні значення, наприклад x _ 3, x _ 0, x _ 1, ді­стаємо систему линійних рівнянь відносно невизначених коефіцієнтів A, B, C ,

- 58 _-29A, A _ 2,

n „    „ ,   ^ ^     „ x2 - 27x +14 2        3x- 2

14 _ 4A - 3C,        C _-2, ,    ^   -2) _ 3 + -г

V— -4        ZL X V V

x_3

x _ 0

x_1

7x~-3)(4~-8x-Tx2l   x - 3   4 - 8x - x2 12 _-5A - 2B - 2C;    B _ 3;      v      Л ;

2-й крок (інтеґрування всіх членів отриманого розвинення)

r 2dx_ _ 2<^_ _ 2r(x-3J)^ _     x - 3 + C1; J x - 3     J x - 3     J    x - 3 другий доданок вже було проінтеґовано в п. 4.3, так що

4+x+ V20

r   3x-2    ,       3,1.   0      2i     7 ,

--dx _ ln4 - 8x - x--p= in

J 4 - 8x - x2 2   1 1 2V5

r „, і „i 3,1,, 0 2 7 , 4 + x + 2л/5 Відповідь. J _ 2inx-3 in4-Sx-x--,=in

4 + x -V20

+ С

+ c2.

2S   \4 + x-2J5

4.6. ІНТЕҐРУВАННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ

В цьому пункті ми роглядаємо деякі методи інтеґрування функції

R(cos x,sin x), ( 2 )

яка є раціональною функцією двох арґументів cos x, sin x.

4.6.1. Універсальна тригонометрична підстановка

Теорема 3. Інтеґрування функції (2) завжди зводиться до інтеґрування раціональної функції однієї змінної t за допомогою так званої універсальної тригонометричної підстановки (УТП)

x

tan_ t 2

■На підставі (3) ми маємо

cosx _

2х        .2х 2 ™ •2*^

cos--sin    cos--sin

2 2 _       2 2

1

2 x 2 x

cos + sin

2x

:cos

sin x _

\ 2sinxcosx 1 I 2sinxcosx [ 2

2 x       -2 x

cos — + sin

2

2

2x

:cos

: cos

1 - tan2

1 + tan2

x

x 1 +1 2 2

2x

: cos

2

2 tan

2

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1