2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 62

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

2x

1 + tan2­2t

\++?

отже,

x 2dt

_ arctan t, x _ 2 arctan t, dx _--

2 1 +12

1 -12 2t      , 2dt

cos x _--, sin x _--, dx _-2

1 +12 1 +12 1 +12

( 3 )

( 4 )

Г R(cos x, sin x)dx _ Г де функція арґументу t

R (t)_ R

R

f1 -12 2t

2dt

v 1 +12 '1 +12 j

f1 -12 2t

1+t

2 - \ R1 (t )dt,

v 1 +12 '1 +12 J

1 + t2

є раціональною.^

2

2

2

2

x

x

1

2

і

Приклад 6. Використовуючи УТП, маємо

dx sin3 x

УТП

x

tan_ t 2

2dt

2t

J+1

2 r(t 2 +1)3 dt _ 1 r(t 2 +1)2 d _ 1 r 14 + 2t 2 + 1dt

_ -1| t + - + -Г- Idt _--+ 2in t +-

4J V    t   t3 J      4 [ 2        11   -3 +1

.-3+1 л

2 x tan

C

2 + -inltan

8 2

8tan2 x +C_

2 x 2 x

sin   cos

2 x 2

cos sin

2

[sin2 x -c~ ~2

2

x

2

2 J

 

2}

sin

4

n2 x

2

cos

in tan:

+C _ і.

4 X 4 X

sin cos

2

2 1,1 x — + — in|tan —

2

sin —cos

22

+C_

2 x 2 x

2 - + cos2 -

22

+1 inltan

2

+ C

1 cos x 1

2 sin2 x 2

+ — in tan

+C.

Зауважимо, що застосування УТП до схожого інтеґрала

dx

cos x

не дає нічого доброго, бо веде до надзвичайно громіздкого раціонального дро­бу. Дійсно,

1 dx cos3 x

УТП

x

tan_ t

2 2dt

r J+1 _ 2r(t2 +1)2 dt }f 1 -12 V }

v12 +1J

(1 -12 )3

Приклад 7. Для обчислення інтеґрала

dx

J cos 11x

можна звести його до попереднього інтеґрала заміною змінної, а саме:

r dx r r cos3їїx r

dx

cos 11x

sin3

11x - 11x _ у

-11dx _ dy dx _ -—dy

11 1 f dy

11J sin y

2

tan _ t

1

2

1

2

x

x

далі діяти як в попередньому прикладі. Приклад 8.

dx

2 - 4 cos 5x + 5 sin 5x

у       . 2dt

tan_ t, dy _—-

2 t2 +1

1 - t2

cos y _ -p:

+1

,sin y _

2t

t2 +1

5x _ y, 5dx _ dy, dx _ 1/5 dy

2dt

1

dy

5J 2 - 4 cos y + 5sin y

t2 +1

2 - 4

1 - Ґ t2 +1

+ 5 ■

2t

t2 +1

■(t2 +1) ■(t2 +1)

1

dt

1 (3t2 + 5t -1) _ 3t + 5 _ z, t _ - - 5, dt _ 2y ' 2 0 ^

dz

3t2 + 5t -1 _ 3

5V37 in

z5

3 6

V37

5|--5 I-1

36

z 5

3   6' 3

z2 37

3 12

1

dz 3

1

5J 3t2 + 5t-1

dz

z2   37 5'

3 12

f /37> 2

_2_

z + -

/37

+ C

z _ 3t

2

y 5 _ 3tan ^ _

22

5x 5 _ 3 tan--v

22

5V37 in

6tan5x + 5 -437 2

^ 5x ^ r— 6 tan+ 5 + V 37 +C

4.6.2. Інші підстановки

I. Якщо функція (2) непарна відносно cos x, тобто

R(- cos x, sin x) _ -R(cos x, sin x), то її можна перетворити до вигляду:

R(cos x, sin x) _ R2 (sin x )cos x, де R2 (sin x) - раціональна функція однієї змінної sin x. Заміна

sin x _ t

зводить інтеґрування до інтеґрування рациінальної функції від t.

II. Якщо функція (2) є непарною відносно sin x, тобто

R(cos x, sin x) _ R(cos x, sin x), то її можна звести до вигляду

R(cos x, sin x) _ R3 (cos x) sin x

( 5 )

( 6 )

( 7 )

2

2

2

z

 ( R3 (cos x) - раціональна функція арґумену cos x) і застосувати підстановку

cos x _ t ( 8 )

III. Якщо функція (2) є парною відносно сукупності обох арґументів sin x і cos x, тобто

R(- cosx,-sin x)_ R(cos x,sin x) ( 9 )

то її можна привести до раціональної функції R4 (tan x) від tan x,

R(cos x, sin x) _ R4 (tan x), и проінтеґрувати за допомоги однієї з підстановок

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1