2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 63

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

tan x _ t,   cot x _ t. ( 10 )

Приклад 9. Обчислити невизначений інтеґрал

/ cos5 7x sin6 7xdx.

Підінтеґральна функція cos5 7xsin6 7x непарна відносно cos7x, бо (- cos 7x)5 sin6 7x _ - cos5 7xsin6 7x, і тому маємо справу з випадком І, коли підінтеґральна функція перетворюється в добуток cos7x на функцію від sin7x. Можна діяти наступним чином:

/ cos5 7 x sin6 7 xdx _/ cos4 7 x sin6 7 x cos7 xdx _ /(cos2 7 x)2 sin6 7 x cos7 xdx _

sin 7x _ t, 7 cos 7xdx _ dt,

cos7xdx _ dt

7

_ / (1 - sin2 7x)2 sin6 7x cos 7xdx _

f ^11   і*9   *7 ^ if sin11 7 x   2sin97 x   sin7 7 x ^

-12 )2161 dt _

7 j(t10 - 2t8 +16 )dt _ 7

v11    9 + 7J

с _ 7

11

---+.

с.

Приклад 10. Підінтеґральна функція невизначеного інтеґрала

/ sin510 xdx

непарна відносно sin10x і тому, згідно з випадком ІІ, перетворюється в добуток sin10x на функцію від cos10x з наступною заміною змінної sin10x _ t. Маємо

/ sin510xdx _ / sin410x sin 10xdx _ / (sin210x)2 sin 10xdx _ / (1 - cos210x)2 sin 10xdx _

7

9

7

cos10x _ t, - 10sin10xdx _ dt

sin 10xdx:

10

dt

10 /(1 -12)2dt _-т0/(1 -2t2 +14)dt _

\ t - 213 +115) + C _—1 \ cos10x - 2cos310x + 7cos510 x) + C. 10 V    3      5  J 10 V 3 5 J

Приклад 11. Обчислити інтеґрал

dx

J cot5 8x

Переходячи від котанґенса до танґенса, діємо відповідно до випадку ІІІ.

r dx_ г tan5 8xdx

cot5 8x tan 8x _ z, 8x _ arctan z,

1 ,1 dz

x _— arctan z, dx _---2

8 8 1 + z2 1 r z 5dz

1 az3 - z \z2 +\)+ z

dz:

1

3

z - z + -

z

8*        zz +1 8*V z2 +1

2    1 г 2 zdz tan4 8x   tan2 8x 1

J_*V

1f z 4 z

8J z2 +1

dz -

+

4    2    2* z2+1

4

+ - in(tan2 8x + \)\ + C.

2    2 J

Приклад 12. Обчисліть самостійно інтеґрал

dx

J tan5 8x

Вказівка. Перейдіть до котанґенса і покладіть cot8x Приклад 13. Знайти невизначений інтеґрал

dx

t.

•    10 о

sin 3x

Ми маємо справу з випадком ІІІ, і тому можемо перетворити підінтеґра-льну функцію в функцію від tan 3x. Ми зробимо ще краще - перетворимо її в добуток функції від tan3x на похідну від tan3x. Отримаємо

dx      г        dx п     1     і     dx       rL       2 \4 dx

sin 3x J sin 3x

+ cot2 3x)4

sin2 3x

sin10 3x  ^іп83xsin2 3x 3dx

_ — /41 і

_ -3 J(t2 +1)4dt _-3 J(t8 + 4t6 + 6t4 + 4t2 + 1)dt _-3

cot3x _ t, -

sin2 3x

dt,

dx

1

sin2 3 x 3

dt

f t9

+

4t7   6t5   4t3 ^

+-+ +-+

7      5 3

C

cot93x   4cot73x   6cot53x   4cot33x 1

27

21

15

cot3x+C

3

Приклад 14. Невизначений інтеґрал

r sin 9x cos9xdx

j sin4 9x + cos4 9x

також можна обчислювати відповідно до випадку ІІІ, оскільки підінтеґральна функція

sin 9 x cos9 x sin4 9x + cos4 9x

є парною по сукупності обох арґументів sin 9x и cos9x, тобто

(- sin 9 x)(- cos9 x)   _   sin 9 x cos9 x (- sin 9x)4 + (- cos9x)4    sin4 9x + cos4 9x

Перетворюючи підінтеґральну функцію в добуток функції від tan 9x на похідну від tan 9 x, отримуємо

r sin 9x cos9xdx _ r   sin 9x cos9xdx   _ r tan9xdx J sin4 9x + cos4 9x   J cos49x(tan49x +1)   J cos2 9x(tan49x +1)

1 Г dy

tan 9x t dx 1

cos2 9x 9

dt

1

tdt

9J t4 +1

t _ y,

tdt _— dy 2

2     _ arctan y + C _ arctan (tan2 9 x)+ C 18J y2 +1   18 18        v '

Зауваження. Зазначені підстановки можуть бути застосовними до деяких ірраціональніх функцій від sin x і cos x. Приклад 15.

cos13x _ y6, y > 0, y _ Vcos13x,

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1