2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 64

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

/ Vcos13x sin13xdx _

- 13sin13xdx _ -6y5dy, sin13xdx _ -Т3y5dy|

13 J y б^

.A.   +с _-—(vcosT3x )7 + с _-6%!cos113x + с.

13   7 ' 91

Приклад 16. Для додатних sin x, cos x

^sin3 2x dx _j4(2sinxcosx)3 _r

jsin5 x j sin 5 x j \/8sin xcos x

sin x dx _J

242л!sin3 x cos3 x dx

sin3 x

sin x

_2yf2j,

sin3 x cos3 x dx

sin x     sin x

_2щ

л/cot x-

_-242 + C _-4±2 cot5/2 x + C _ C--^VcTot^ _ C-4^2 cot2 xvWx. 5 2 5 5 5

512

442

dx sin x

442

cot x _ t, dx

_ -dt

sin2 x

_-

42/12 dt

442

4.6.3. Деякі інші методи

а) Застосування формул зниження степеня

sin2 x _

1 - cos 2x

2 1 + cos 2x cos x _

22

Приклад 17. /sin215xdx _ 1/(1 - cos30x)dx _ 2fx -30sin30x+ C.

( 11 )

Приклад 18.

/cos4 5xdx _ /(cos2 5x)2dx _

2 V 30 f 1 + cos10x

2

dx

2 J

_1-/(1 + 2cos10x + cos210x)dx __1-/f 1 + 2cos10x + 1 + cos20x

2

dx

_ 1 / (3 + 4 cos 10x + cos 20x)dx __1 f 3x + 2 sin10x + sin 20x \ + C. 8JV 8V      5 20 J

Приклад 19.

/sin6 3xdx _ /(sin2 3x)3dx _ /

1 - cos 6x 2

dx

_ -8/(1 - 3cos6x + 3cos2 6x-

- cos3 6x)dx _ 8 f x - ;3-sin6x + 3/1 + cos12x dx -/(1 - sin2 6x)cos6xdx\ _

sin 6x _ t 1

cos 6xdx

dt

1 f x - 1-sin6x + 3 f x + sin12xl -1 /(1 -12 )dt\_ 2 2V     12 J   6JK J

f

x sin 6 x + sin12x — 2     2 8 6

sin 6x

sin3 6x

V

C

JJ

1 f5     2 .  r     1 ^ ^ 1.3,,^

\— x sin 6 x + sin12x +--sin 6 x I + C .

8 V 2     3 8 18

3

6

) Застосування формул перетворення добутку тригонометричних функцій в алгебричну суму

.                sin(x + y)+ sin(x - y)                           cos(x + y)+ cos(x - y) 1) sin x cos y _—------;   2) cos x cos y _---—----;

„. . . cos(x - y)- cos(x + y) ,,„4 3) sin x sin y _-і-^-^. ( 12 )

Приклад 20.

1 r, . . 1 f    1 1     . Л

/ sin 7x cos 4xdx _ /(sin11x + sin3x)dx _

cos11x--cos3x

V   11 3 j

+C.

22

T-r f      2        2~    7       f1 + cos2x 1 - cos4x,

Приклад 21.     / cos x sin 2xdx _ /---~dx _

_1 / (1 - cos 4x + cos 2x - cos 2x cos 4x)dx _1 \ x -1 sin 4x +1 sin 2x -4J 4V     4 2

rcos6x + cos2 x1 Л   1 f     1 .  _     1 . _      1   . ..„    1 • Л ^

- I-:-dx I _\ x sin4x + sin2x--sin12x sin2x I + C.

4 V     4 2 12 4 J

4.7. ІНТЕҐРУВАННЯ ІРРАЦІОНАЛЬНИХ ФУНКЦІЙ 4.7.1. Линійні і дробово-лінійні ірраціональності

Обчислення невизначених інтеґралів вигляду

/r(x, tjax + b )dx, ( 13 )

які містять так звану лінійну ірраціональність

лі ax + b ,

зводиться до інтеґрування раціональної функції однієї змінної t за допомоги підстановки

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1