2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 65

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

ax + b _ tn ( 14 )

■На підставі (14) маємо x _1 (tn -b)dx _-tn-1dt, /r(x, nJax+~b)dx _ - /R\ 1 (tn -b) tV-1dt _ - /R1 (t)dt.

Ми отримуємо інтеґрал від раціональної функції

R (t)_ r{ 1 (tn - b),

t \tn

Невизначені інтеґрали вигляду

R

lax + b V cx + d dx

( 15 )

з дробово-лінійною ірраціональністю

n л

ax + b

1 cx + d

зводяться до інтеґралів від раціональних функцій за допомогою підстановки

ax + b

t

cx + d

■Дійсно, з (16) отримуємо (детальні перетворення зробіть самостійно)

_ dtn - c    d _ n(ad - c2)tn-1 d a - ctn (a - ctn)

rj    lax + b V     r Jdtn - c   Л n(ad - c2\n-1 1 / R\ x,n-- dx _/ R\--, t -^— dt,

( 16 )

і залишається проінтеґрувати раціональну функцію

„ґ\   J dtn - c   Л n (ad - c2 Y-1 1W     V a - ctn' J   (a - ctn )2

Приклад 22.

dx

лІ2x + 3 - 2V2x + 3

2x + 3 _ t6, t > 0, 2dx _ 6t5dt, dx _ 3t5dt

t 5 dt t 3 dt

_3/__3/

3/Г   8 + * dt _ 3/\t2 + 2t + 4\dt _ 3

t - 2

+

f t3 t2

tt

— + 2 — + 4t + 8in t - 2

II

t-2

32

C

J

(6J2x + 3 )   „(V2 x + 3 )2    лбГ--- 01 i6/--- „і

^-'- + 2^-'— + 4V2x + 3 + 8in V2x + 3 - 2

+C_

J

л/2x + 3   „ V2x + 3

+2

+ 4^2x + 3 + 8in|V2x + 3 - 2І

C.

3

Приклад 23.

1 + x dx 1 - x 1 - x

t2 -1

1 + x 2 --_ t2, t > 0, x

1 - x t2 +1

d _   4tdt      1   _ t2 +1 2 • 'l2 1 - x 2

t2 +1   4tdt t _ і t---7-ъ _ 2\-2-dt _

_2/ t2 +1 -1 t2 +1

dt _ 2 1

t2 +1

dt _ 2(t - arctan t)+ C _ 2І 1+x

ь ­- arctan 1+x

C

4.7.2. Квадратичні ірраціональності. Тригонометричні підстановки

Невизначений інтеґрал вигляду

/ R(x,ja2 - x2 )dx ( 17 )

позбавляється кореня і зводиться до інтеґрала від раціональної функції арґумен-тів sin x, cos x за допомогою тригонометричної підстановки

x _ a sin t.

Те ж саме справедливо стосовно інтеґрала

/ r(x,^a2 + x2 )/dx,

якщо застосувати підстановку і для інтеґрала

x _ a tan t,

якщо покласти

/r(c,^Ix2 - a2 )dx,

x _ a sect _

cos t

■Розгляньмо інтеґрал (17) і покладімо

x _ a sin t.

Отримаємо

( 18 )

( 19 ) ( 20 ) ( 21 )

( 22 )

dx _ a cos tdt, a2 - x2 _ a2 - a2 sin21 _ a2 (1 - sin21a2 cos21, Va2 - x2 _ a|cos t|

/ r(x, л/a2 - x2 ^dx _ / R(a sin t, a|cos t|)a cos tdt _ / R1 (sin t, cos t)dt, де R1 (sin t, cos t)_ R(a sin t, a|cos t|)a cos t. ■

Інтеґрали (19), (21) розгляньте самостійно. Приклад 24.

л/4 - x с

dx

x _ 2sin t, припускаємо 0 < t dx _ 2 cos tdt, 4 - x2 _ 4 cos21

r2cos t .    г    2 .

_ \——2-1 2 cos tdt _ / cot tdt _ 4sin2 t

^ s1<12

_ і \ —— - 1\dt _- cot t -1 + C _ sin t

sin t _—, cos t 2

V4­

V4-X2"

- arcsin+ C.

2

Приклад 25. r dx

(j 25 + x2)

x _ 5 tan t, припускаємо 0 < t <

dx

5dt cos21

25 + x2 _ 25(1 + tan21)_

25

cos2 t

_ — / cos tdt _ sin t + C _ 25 25

25 25

Приклад 26.

sin t _

tan t

л/1 + tan21    л/25 + x2

5dt cos21 5

cos t

x

dx

x 24X2-9

3 n ,

x _-, припускаємо 0 < t <—, dx _

cos t 2

f 1 - cos21Л

x2 - 9 _ 9

1

cos2 t

1 \_ 9

cos2 t

_1 f cos tdt _ sin t + C _

Q J Q

cos t _ —, sin t _ л/1 - cos21 _

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1