2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 66

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

3sin tdt

 

cos2 t

 

9tan21

j

- /Х2"

- 9

25V25 + x2

3sin tdt

+C.

cos21

cos2 t

■ 3 tan t

vx2-9

9 x

+ C.

4.7.3. Квадратичні ірраціональності (загальний випадок)

Невизначений інтеґрал вигляду

/ r(x,^ ax2 + bx + c )dx ( 23 )

може бути зведений до одного з інтеґралів (17), (19), (21) за допомогою підста-

новки

x

2

2

2

x

2

2

x

2 (ax2 + bx + c) _ t ( 24 )

Існує багато інших методів обчислення інтеґралів вигляду (23). Зокрема, можна звести інтеґрування до інтеґрування раціональної функціх за допомоги так званих підстановок Ейлера.

Перша підстановка Ейлера (якщо a > 0):

л/ ax2 + bx + c _±4ax +1; ( 25 )

друга підстановка Ейлера (якщо c > 0):

л/ax2 + bx + c _ xt ±yfc ; ( 26 )

третя підстановка Ейлера (якщо тричлен ax2 + bx + c має два дійсних кореня

Х1,) Х2):

V ax2 + bx + c _(x - x1). ( 27 )

Приклад 27. Нехай

dx

1

Х + \/ x2 + Х + 1

Застосовуючи першу підстановку Ейлера (25) в наступному вигляді

отримуємо

л/x2 + Х +1 _ t - Х,

2       ,    2   „       2        t2 -1   ,    2(t2 +1 + 1)dt        г~2-7

x + x +1 _ t - 2tx + x , x _-, dx _^--, x + V x + x +1 _ t,

2t +1 (2t +1)2

так що

2(t2 +1 + 1)dt

(2t +1)2    _ 2/(t2 +1 + 1)dt /   t(2t +1)2 "

t

Розвинимо підінтеґральну функцію (правильний раціональний дріб) в су­му найпростіших раціональних дробів. Перш за все покладаємо

t2 +1 +1 _ A      ^ C t(2t +1)2 _ t   (2t +1)2   2t +1.

Помножаючи обидві частини тотожності на спільний знаменник t (2t +1)2, до­ходимо тотожності

t2 +1 +1 = A(2t +1)2 + Bt + Ct(2t +1).

Дамо далі змінній t три довільних значення, наприклад 0, —, -1, звідки

2

t = 0 t = -1/2 t = -1

L1 = A -B + C, C = -32;   t(2t +1)2    t   (2t +1)2   2t +1

Повертаємось до обчислення даного інтеґрала. Маємо

2t +1 = у

\ t   (2t +1)2   2t +1j       3 t     3 (2t +1)2 J

t     J(2t +1)2     J2t +1

2 t = у

= 2ln|t - 3 f ^ -3 fd^ =2ln|t + -3ln|УІ + C = 2ln|t +  , 3   ч --ln|2t +1 + C = "   2J у2   2J у        11   2у   2   11 11   2(2t +1)   2   1 1

3        1,     t4 3 1       (>/ x 2 + x +1 + x)4

^-r + -ln--t + C =  / / ,— -ч\ + -ln^1--f—- + C

2(2t +1)   2   |2t +13 2(2(4/ x 2 + x +1 + x)+1)   2    2ХЧХ+ x)+1

4.8. ПОНЯТТЯ ПРО ІНТЕГРАЛИ, ЯКІ НЕ "БЕРУТЬСЯ"

Вище ми обчислили велику кількість невизначених інтеґралів. Успіш­ність проведеної роботи не повинна вводити нас в оману. Далеко не всякий ін-теґрал може бути обчислений так же просто, как це було в нас. Більш того, іс­нує велика кількість невизначених інтеґралів, які взагалі неможливо взяти за допомогою елементарних функцій. Не входячи в деталі, наведемо декілька при­кладів таких інтеґралів, які не "беруться". Так, до їх числа належать такі доста­тньо прості за формою інтеґрали

г    2     с dx   с sin x      с cos x      с с с ex

I x dx, I-, I-dx, I-dx, I sin x2dx, I cos x2dx, \ —rdx,

де   - довільне натуральне число.

5. ВИЗНАЧЕНИЙІНТЕҐРАЛ

5.1. ЗАДАЧІ, ЯКІ ВЕДУТЬ ДО ПОНЯТТЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕҐРАЛА

5.1.1. Площа криволінійної трапеції

Означення 1. Криволінійною тра­пецією (першого типу) в площині xOy називається фигура, обмежена двома прямими x = a, x = b (a < b), віссю Ox і кривою y = f (x) (f (x) > 0) (рис.1). Fig. 1 Зручно визначати криволінійну

трапецію як наступну точкову множину в площині xOy:

{(x; y): a < x < b; Vx є (a, b): (0 < y < f (x))}. ( 1 )

Щоб означити поняття площі криволінійної трапеції (1), виконаємо на­ступні дії.

1. Точками

a = x0 < x1 < x2 < ... < xi-1 < xi < ... < xn = b

поділимо відрізок [a, b] на n частин (підінтервалів)

[x0 , x11 ^ x2 ],... [xi-l, ^ ],..., [xn-l, xn]

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1