2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 67

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

з довжинами

Ax1 = x1 -= x2 -Хl,...,     = xi -xiAxn = xn -xn-l, відповідно, і нехай Я - найбільша з цих довжин, тобто

X = max{Ax1, Ax2,..., AxiAxn}.

2. Візьмемо довільну точку Е)і в кожній частині [xi-1, xi], i = 1,n, знайдемо значення функції в цій точці і помножимо його на Axi = xi - xi-1.

3. Склавши всі такі добутки f   )Axi, отримаємо сумуа = f & )Axi + f (& )Ax2 +... + f (& )Ахг +... + f & )Axn = J f & )Axt    ( 2 )

i=1

- площу ступінчастої фігури, утвореної прямокутниками з основами Axi, i = 1, n, і висотами f (& ), i = 1, n.

4. Нехай X прямує до нуля. Якщо існує границя сумы (2), вона називаєть­ся площею криволінійної трапеції (1) (рис.1) і позначається

S = S„m _ „ = Uma = lim J f(& )ter ( 3 )

i =1

5.1.2. Кількість виготовленої продукції

Нехай f (t) - продуктивність праці деякого підприємства в момент часу t. Знайдемо кількість U продукції, виготовленої протягом проміжка часу [о,T]. Якщо f (t) = const = F, то U = F T.

Але, як правило, f (t) Ф const, і тому ми чинимо наступним чином.

1. Поділимо інтервал часу [0, T] на n частин

L t1 1 [t1, 12 і". [ti-1, ti [tn-1, tn 1 t0 = 0, tn = T; Ati = ti ~ ti-1, i = M ,

і покладемо X = max{At1, At2,..., AtiAtn}.

2. Візьмемо довільну точку Ti в кожній частині [ti-1, ti ] i = 1, n, знайдемо значення функції f (t) в цій точці і помножимо його на Ati = ti ti-1.

3. Додаючи всі добутки AUi = f (ті )Ati, знаходимо наближене значення кількості U продукції, виготовленої протягом проміжка часу [0, T], тобто

U = JAU. * а = J f (тг )At. . ( 4 )

i=1 i=1

4. Спрямовуючи X до нуля, знаходимо точне значення кількості виготов­леної продукції

U =        = lim J f (тг )Atl . ( 5 )

i=5.1.3. Довжина пройденого шляху.

Знайдемо довжину L шляху, пройденого матеріальною точкою, що рухає­ться з швидкістю v(t), протягом проміжку часу тривалості T (від t = 0). Якщо v(t) = const = v, то L = v T.

У випадку змінної швидкості v(t) ми діємо таким же чином, як і в попе­редніх задачах.

1. Ділимо відрізок [0, T] на n частин

L t11 [t1,t21-. [ti-1, tt ]>..., [tn-1, tn 110 = ° tn = T; Att = t, - tt _^ і = \~n

і покладаємо X = max{At1, At2,..., AtiAtn}.

2. В кожному інтервалі часу [ti-1, ti ] і = 1, n, беремо довільний момент тг, знаходимо значення швидкості в цей момент і помножаємо його на довжину інтервала Ati = ti - ti-1.

3. Додаючи всі добутки ALi = v(^i )Ati, знаходимо наближене значення до-лжини L шляху, пройденого матеріальною точкою протягом часового інтервалу [0, T], тобто

L = fJALl * а = J v(rt )At.. ( 6 )

і=1 і=1

4. Спрямовуючи X до нуля, знаходимо точне значення величини пройде­ного шляху L,

n

L = І1*** =!in0 J v(Ti )At. ( 7 )

і =1

5.2. ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕҐРАЛ

Означення 2. Нехай функцію y = f (x) задано на відрізку [a, b] (рис. 2). 1. Поділимо відрізок на n частин (підінтервалів)

X1 1 \X1, X2 l"^ [ХіХі l"^ [xn-1, Xn ]

точками (точками поділу)

a = x0 < x1 < x2 <... < хі-1 < хі <... < xn = b;

нехай

X = max{Ax1, Ax2,..., AxiAxn}. a j    j. j ^ £ 2. Візьмемо довільну точку E!i в

xi 0C"     кожному підінтервалі [xi-1, xi ] і = 1, n,

Рис. 2 знайдемо значення функції f (x) в цій

точці і помножимо його на довжину Ax = x - x -1 підінтервала.

3. Додаючи всі такі добутки f   )Axi, отримуємо суму (так звану інтег­ральну суму Коші1-Рімана2)

а = f   )Ax + f 2)Ax2 +... + f   )Ax, +... + f    )Axn = Jf   )Ax, .   ( 8 )

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1