2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 68

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

=1

4. Якщо існує скінченна границя інтеґральної суми (8) при X 0, ця гра­ниця називається визначеним інтегралом функції f (x) на відрізку [a, b] і по­значається

J f (x)dx = Ша = X—а J f & )Ax1 . ( 9 )

a і=1

Ми читаємо ліву частину в (9) наступним чином: "(визначений) інтеграл від a до b (функції) f (x) dx" (слова в дужках можна випускати).

f (x), f (x)dx, xмають ті ж назви, що й в невизначеному інтегралі; число a називається нижньою межею інтегрування, b - верхньою межею інтегрування.

Означення 3. Функція f (x) називається інтеґровною на відрізку [a, b], якщо існує її визначений інтеграл (9).

Теорема 1 (теорема існування). Якщо функція f (x) неперервна на відріз­ку [a, b], то вона інтегровна на ньому.

1 Коші Огюстен Луї (1780 - 1859) - видатний французький математик

2 Ріман Георг Фрідріх Бернгард (1826 - 1866) - видатний німецький математик

Геометричний сенс визначеного інтеграла. Якщо підінтегральна функція неперервна і невід"ємна, f (x)> 0, на відрізку [a, b], то на підставі (2), (3) її ви­значений інтеграл дає площу криволінійної трапеції (1), рис. 1,

S = ScUrv tmp = X—0 а = Xm Jf & )Ax, = | f (x)dx ( 10 )

=1 a

Зкономічний сенс визначеного інтеграла. Якщо неперервна функція f (t) визначає продуктивність праці деякого підприємства, то кількість U продукції, виробленої ним протягом інтервалу часу [0, T], на підставі (4), (5) дається ви­значеним інтегралом,

T

=

U = X—0а = Xmi J f (тг )Atl = | f (t)dt. ( 11 )

=1

Фізичний сенс визначеного інтеграла. Якщо неперервна функція v(t) є швидкістю матеріальної точки, то на підставі (6), (7) довжина L шляху, пройде­ного нею протягом інтервалу часу від t = 0 до t = T , виражається визначеним інтегралом

l=х—^=j v(ri )Ati=Iv(t)dt        ( 12 )

Приклад 1. Довести, що

b

I dx = b - a ( 13 )

■Підінтегральна функція f (x) = 1, і тому інтегральна сума (8) дорівнює довжині відрізка [a, b], тобто

n

а = Ax1 + Ax2 +... + Axi +... + Axn = jAxi = b - a,

n

і=1

а отже, її границя, яка є інтегралом (13), дорівнює b - a .■

Зауваження. Визначений інтеграл не залежить від змінної інтегрування:

b b b b

I f (x )dx = I f (y )dy = I f (z )dz = I f (t )dt = ... ( 14 )

Означення 4 (визначений інтеграл з рівними межами інтегрування). Ви­значений інтеграл з рівними межами інтегрування вважається за означенням рі­вним нулю,

I f (x )dx = 0. ( 15 )

Доречність такого означення випливає, наприклад, з геометричного сенсу визначеного інтеграла, якщо уявити собі, що b a і при цьому площа криволі­нійної трапеції прямує до нуля.

Означення 5 (зміна місцями меж інтегрування).

ba

I f (x )dx = -I f (x )dx. ( 16 )

ab

Замість означення 5 ми могли б дати інше, а саме - означення інтеграла в правій частині рівності (16) (при b > a). Тоді б ми отримали цю рівність як нас­лідок. Дійсно,

a def n n

I f (x)dx = X—a J f   )(x - x+1 ) = - Xxmi J f & Xx+1 - x ) =

b =1 =1

= - Xmi Jf & )Ax, =-I f (x )dx.

=1

Але такий шлях є набагато громіздкішим.

5.3. ВЛАСТИВОСТІ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕҐРАЛА 5.3.1. Лінійність та адитивність

1 (однорідність). Сталий множник k може бути винесений за знак визна­ченого інтеграла,

bb

I kf (x )dx = k I f (x)dx.

aa

■Утворимо інтегральні суми для лівої и правої частин. Вони рівні, оскіль­киа¥(x) = J kf (& )AXi = k J f (& )Ax = ^ f (x).

і=1 і=1

Тому їх границі, тобто відповідні визначені інтеграли, є також рівними.^

2 (адитивність відносно підінтегральної функції). Якщо f (x), f2 (x) - дві інтегровні функції, то

b b b

I (f 1 (x) + f 2 (x ))dx = I f1 (x )dx + If 2 (x )dx .

a

Доведіть цю властивість самостійно.

Наслідок (лінійність). Для будь-яких двох інтегровних функцій f (x), f2 (x) і довільних сталих k1, k2

12

b b b

k1

I (k1 f1 (x) + k2 f2 (x ))dx = k11 f1 (x)dx + k21 f2 (x)dx.

a a a

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1