2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 69

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

3 (адитивність відносно інтервалу інтегрування). Для будь-яких a, b, c

b c b

I f (x )dx = I f (x)dx +1 f (x )dx,

a a c

якщо принаймні два з трьох інтегралів існують.

■ 1) Нехай спочатку ce(a, b). Утворимо інтегральну суму так, щоб c було точкою ділення. В такому випадку (позначення зрозумілі)

^a, b] = а[а, c] + а b],

і перехід до границі при    0 доводить властивість.

2) Нехай тепер розташування точок a, b, c довільне, наприклад, a < b < c. Застосовуючи перший випадок до інтервала [a, c] і означення 5, отримаємо

c b c b b

I f (x)dx = I f (x)dx +1 f (x)dx = I f (x)dx -1 f (x)dx,

a a b a c

звідки

bcb

I f (x )dx = I f (x)dx +1 f (x)dx .■

5.3.2. Інтеґрування нерівностей. Теорема про середнє

4. Якщо a < b і підінтегральна функція f (x) невід"ємна на відрізку [a, b], f (x )> 0, то

и

J f (x)dx

> 0.

Інтеграл строго додатний, якщо функція f (x) неперервна на відрізку [a, b] і не

дорівнює нулю тотожно.

■ Невід"ємність інтеграла безпосередньо випливає з додатності інтеграль­ної суми для функції f (x). Його строга додатність, як можна довести більш складними міркуваннями, є результатом неперервності функції. ■

5. Якщо a < b і f (x) < g(x) на [a, b], то

b b

J f (x)dx < J g (x ~)dx.

a a

Інтеграли пов"язані строгою нерівністю, якщо функції f (x), g(x) неперервні на відрізку [a, b] і не рівні тотожно.

■Достатньо застосувати попередню властивість до різниці f (x)-g (x) .■

Приклад 2.

J sin2 xdx < J sin xdx,

оскільки sin2 x < sin x на відрізку 6. Якщо a < b, то

b b

J f (x)dx <J|f (x)dx

a a

Достатньо застосувати властивість 5 до подвійної нерівності

-|f (x)< f (x)<|f (x)

( 17 )

7 (двобічна оцінка визначеного інтеграла). Якщо a < b і функція f (x)

неперервна на відрізку [a, b], то справедливою є подвійна нерівність

b

m(b - a)< j f (x)dx < M(b - a), де m = min f (x), M = max f (x).     ( 18 )

J [a, b] [a, b]

a

■Доведення випливає з властивості 5, нерівності m < f (x)< M на [a, b] та формули (13).^

Приклад 3. Оцінити інтеграл

4

I = J(3x2 - 12x + 14)dx.

і

Маємо

f(x) = 3x2 - 12x +14, f '(x) = 6x -12, f(x) = 0if x = 2; f(l) = 5, f(2) = 2, f(4) = 14; m = min f (x) = f (2) = 2, M = nm f (x) = f (4) = 14, a = 1, b = 4, b - a = 3,

і на підставі формули (18)

44 2 • 3 <J(3x2 - 12x + 14)dx < 14• 3,    6 <J(3x2 - 12x + \4)dx < 42.

8. Теорема про середнє. Якщо функція f (x) непнрервна на відрізку [a, b], то існує точка c є (a, b) така, що

b

J f (x)dx = f(c)(b - a) ( 19 )

о

3 #z£^

 

 

 

3)

Рис. 3 ■Нехай, наприклад, a < b. Діленням обох частин не-

рівності (18) на додатне число b - a отримуємо

m <

1

b-a 1

J f (x)dx < M

Згідно з теоремою Больцано -Коші для функції, яка неперервна на відріз­ку [a, b], існує точкаc є (a, b) така, що

1 Больцано Бернард (1781 - 1848) - чешский математик, философ и логик

1 b

J f (x)dx = f (c) =* J f (x)dx = f (c)(b - a).

b - a'

aa

Випадок a > b розглядається таким же чином. Зробіть це самостійно.^

Геометричний сенс теореми про середнє (рис. 3). Площа криволінійної

трапеції (1) дорівнює площі прямокутника ABCD з тією ж основою AD=[a, b] і

висотою f (c).

Означення 6. Вираз

fmean = fav = J f (x)dx ( 20 )

b-aa

називається середнім значенням функції f (x) на відрізку [a, b].

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1