2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 7

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

Vs > 0,3Ua, Vx є D(f): (x f (x)- b\ < s), тобто lim f (x ) = b

Доведену властивість часто жартома називають теоремою про двох мілі­ціонерів. Як ви гадаєте, чому?

6. Якщо числова послідовність {yn} зростає (не спадає) і обмежена зверху або ж спадає (не зростає) і обмежена знизу, то вона збігається, тобто має грани­цю.

Сформульоване твердження є насправді не властивістю, а важливою тео­ремою, яку в рамках нашого втузівського курсу неможливо навіть довести. Ми можемо тільки наводити приклади її застосування.

Приклад. Відомо, що послідовність периметрів Pn правильних n-кутників,

вписаних в коло, є зростаючою. З іншого боку, вона є обмеженою зверху, на­приклад, периметром будь-якого описаного многокутника. Отже, на підставі 6 існує границя

яка й приймається за означення довжини кола. Аналогічно означаються площа круга, площі бокових поверхонь і об"єми круглих тіл (циліндра, конуса тощо).

Б. Властивості нескінченно малих

1. Сума двох або будь-якої скінченної кількості нм є нм.

■Нехай a(x), j3(x) - дві нм при x a. За означенням нм можемо записати

тобто a(x)+ 3(x) є нм.^

2. Добуток нм і обмеженої функції є нм.

■ Нехай функція f (x) обмежена в деякому околі Ua 1 точки a, тобто

3C > 0, Vx є D(f): Vx є Uaл => | f (x) < C,

lim Pn = C,

Vs > 0, 3Ua, Vx є D(a)ПD(p):

так щоа

нм при x a, а саме

\/є > 0, 3Ua 2, Vx є D(a): І x є U'a 2 => \a(x) <

В спільній частині U' = Ua1 П Ua 2 околів U , і Ua 2 маємо

■І / (x )< с C = є.

є

Таким чином ,

> 0, 3Ua, Vx є D{a),Vx є D(f): (x eU'a^ \a(x )f (x) < є),

а це означає, що добуток a(x)f (x) є нм при x a .■ З (наслідок). Добуток двох нм є нм.

Зауваження. Нічого певного не можна сказати про відношення двох нм. У випадках, коли треба знайти границю відношення двох нм, кажуть, що треба розкрити невизначеність типу 0/0.

В. "Арифметичні" властивості границь

1. Границя суми, різниці, добутку, частки двох функціій дорівнює (відпо­відно) сумі, різниці, добутку, частці границь цих функцій, тобто

■ Доведення для границі добутку. Нехай

lim f (x) = b, lim g(x) = c.

x—a x—a

На підставі теореми 5 з п. 1.2.6 в деякому околі точки а

f (x) = b + a(x), g(x) = c + B(x), де a(x), B(x) - нм при x a. Добуток цих функцій дорівнює f (x) g (x) = b c + b/?(x) + ca(x) + a{x)B(x).

IS

IS

IS

IS

Це значить, що

f (x )■ g (x ) = b c + IS == lim (f (x )■ g (x )) = b c = lim f (x )■ lim g (x) .■

x—a x—a x—a

Зауваження (див. також зауваження наприкінці попереднього пункта). Нічого не можна сказати без спеціального дослідження про границю частки двох функцій

xa g (x )

коли обидві вони є нм або нв при x a. В таких випадках кажуть про невизна­ченості типів

0 _ оо — або — 0 о

та про необхідність їх розкриття.

Наслідки. а) Для будь-якої константи C

lim(C f (x)) = C lim f (x),

x—a x—a

тобто сталий множник можна винести за знак границі.

b) Для довільного натурального числа n границя n-го степеня функції до­рівнює n-му степеню границі цієї функції,

lim(f (x))n = (hmf (x)).

Приклад. Застосовуючи властивість 1 та наслідки з неї, маємо 2cos x + 3x 2 +12   lim1 (2cos x + 3x2 +12)   2limcos x + 3lim x2 + lim12

lim-- = -;-7—-V— = -;-—-;-;-

x0  sin x-5x-7       limlsin x- 5x-7)       limsin x-5limx-lim7

x—0y ' x—0 x—0 x—0

= 2 ^cos0 + 3(lim x f+12 = 2-1 + 3 02 +12 = 24

(sin0)4 -50-7 0-50-7      -7 .

Приклад. Обчислити границю

lim

5 x2 - 6 x +1

x—1 3x2 - x - 2

Число 1 є коренем як чисельника, так і знаменника, так що нам треба роз­крити невизначеність типу 0/0. Ми зробимо це, розклавши чисельник і знамен­ник на множники і скоротивши дріб на множник x -1.

lim5x - 6x +1 = f01 = lim I     5 > = lim I     5 1 = -L-5] = 4

3(x - 1)(x+2J x—4x+f] 3f1+3]

Приклад. Обчислити границю

,.    Vx + 3 - 2 lim ,-=—.

x—W5 - 4x -1

Тут також треба розкрити невизначеність типу 0/0. З цією метою ми по­множимо чисельник і знаменник на добуток спряжених їм виразів, що після де­яких перетворень дасть можливість скоротити дріб і позбавитись невизначено­сті. Саме,

Vx + 3 -2 =f 0Л=      (Vx + 3 -2)(Vx + 3 + 2)(У5-4x +1)

lx—mj5 - 4x -1   10]   xm ^5 - 4x - 1)У5 - 4x + 1)(Vx + 3 + 2) = lim 22 iv5-^x +1) = lim (x + 3 - 4)(f-44x +1) =

x1 (^/5-4x)2 -12 )(VxT3+2) x1 (5 - 4x - 1)(Vx + 3 + 2)

(x - 1)(V 5 - 4 x +1)      1r   (x - 1)(V 5 - 4 x +1)     1r   V5 - 4 x +1 1

= lim —, \i 1-\ = — hm -7-J\ ,--f = lim   ,--= —.

x14(1 - x)(Vx + 3 + 2)     4 x1 (x - 1)(Vx + 3 + 2)      4 xWx + 3 + 2 8

2 (границя складеної функції). Нехай дано складену функцію

y=f (^MX

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1