2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 70

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

5.4. ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕҐРАЛ ЯК ФУНКЦІЯ СВОЄЇ ВЕРХНЬОЇ

МЕЖІ

Нехай xє[a, b]. Розглядемо функцію

x

0(x ) = J f (t )dt, ( 21 )

a

тобто визначений інтеграл с змінною верхньою межею x. Геометрично (для невід"ємної підінтег-Рис. 4 ральної функції f (t) > 0) цей інтеграл дає площу

тієї частини криволінійної трапеції

{(t, y): a < t < b, 0< y < f(t)}, яка лежить між прямими t = a, t = x (рис. 4).

Теорема 2. Якщо функція f(x) неперервна на відрезку [a, b], то для будь-якого x є [a, b] похідна інтеграла (21) дорівнює

Ф ' (x) = [ J f (t )dt\ = f (x), ( 22 )

тобто похідна визначеного інтеграла з змінною верхнью межею x по цій межі дорівнює значенню підінтегральної функції в точці x.

■За означенням похідної

Ф'^)= lim A^x) = lim ^ + Ax)-Ф(x).

Ax—0     Ax Ax —0 Ax

Використовуючи адитивність визначеного інтеграла відносно інтервалу інтег­рування, маємо

x+Ax x x+Ax x+Ax

Ф(x + Ax)= J f (t)dt = J f (t)dt + J f (t)dt, AФ(x) = ф(x + Ax)-Ф^) = J f (t)dt.

a a x x

Нехай, наприклад, Ax > 0. На підставі теореми про середнє існує така точка c в інтервалі (x, x + Ax), що

x+Ax

J f (t )dt = f (c)((x + Ax) - x) = f (c)Ax.

x

При цьому c    x, якщо Ax    0. Беручи до уваги неперервність функції f, ми дістаємо

Ф'М = lim A^x) = lim f(c)Ax = lim f(c) = f(x)

Ax—0     Ax Ax—0      Ax Ax—0    V  ' V 7

Наслідок (основна теорема інтеґрального числення). Кожна функція, неперервна на відрізку [a, b], має первісну на [a, b].

■Однією з таких первісних є інтеграл (21) з змінною верхньою межею x.^ Приклад 4. Знайти похідну функції

x

f (x ) = J(t2 + sin t )dt.

0

Згідно з формулою (22)

f '(x ) = |jj (t2 + sin t )dtj = x2 + sin x. Приклад 5. Знайти похідну функції

cos x

J12dt.

sin Використовуючи властивість адитивності визначеного інтеграла відносно інтервалу інтегрування, правило диференціювання складеної функції та форму­лу (22), отримуємо

t t

' cos x       Л       f cos x sin x Л

d

d

J t2 dt   =1  J t2 dt - J t2 dt   =-1  J t2 dt -(cos x)--1  J t2 dt -(sin x)

Jin n      J    d cos x I J      j d sin x I J I

= - cos2 x - sin x - sin2 x - cos x = - sin x cos x(cos x + sin x) = sin 2x(cos x + sin x).

d

x

2

5.5. ФОРМУЛА НЬЮТОНА - ЛЕЙБНІЦА

Теорема 3. Якщо функція f (x) неперервна на відрізку [a, b] і F(x) - одна з

її первісних, то обчислення визначеного інтеграла функції по відрізку можна здійснити за допомогою так званої формули Ньютона -Лейбніца

b b

J f (x )dx = F (x)  = F (b)-F (a). ( 23 )

a a

■ Ми маємо дві первісні для функції f (x), а саме: названу первісну F (x) і, крім того, визначений інтеграл      ) (формула (21)) з змінною верхньою ме­жею x. За відповідною властивістю первісної різниця функцій      ) і F (x) є сталою, тобто

x

) - F (x) = J f (t )dt - F (x) = C = const.

a

Щоб знайти значння сталої C, покладімо x = a. Матимемо

a

) - F(a) = J f (t)dt - F(a) = 0 - F(a) = C, C = -F(a),

a

і тому

x

J f (t )dt =F (x)- F (a ).

a

Замінюючи x на b і t на x, отримуємо формулу (23).^

1 Ньютон Исаак (1643 - 1727) - великий английский ученый

2 Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646 - 1717) - выдающийся немецкий математик, физик и философ

Зауваження. Вираз

F (x )

який означає дію F (b)-F (a), називається подвійною підстановкою. Приклад 6. Обчислити визначений інтеграл

я/2

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1