2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 71

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

J cos xdx.

Первісною для cos x є sin x, і за формулою Ньютона-Лейбніца

я/ 2

J cos xdx = sin

Я 2

= sin--sin 0 = 1-0 = 1.

2

Приклад 7. Знайти площу фігури, обмеженої наступними лініями: y = x2, x = 2, y = 0 (рис. 5).

Задана фігура є криволінійною трапецією, і за форму­лою (10) її площа дорівнює визначеному інтегралу від функ-Рис. 5       ції f (x) = x2 по відрізку [1, 2],

S = J x1 dx = 

= 2.67. 3

Приклад 8. Частинка рухається вздовж прямої, і її швидкість через t с після проходження точки O дорівнює v(t) = (1 -1/412) м/с. Знайти відстань частинки від точки O через 2 с, а також середнє значення її швидкості протягом проміжку часу від t = 0 до t = 2.

Згідно з формулою (12) шукана відстань дорівнює

2 2 2

L = J v(t)dt = J(1 -1/412 )dt = (t -1/1213=(2-1/12 - 23 )= 43 м.

0 0 І0

Використовуючи далі формулу (20) і результат щойно проведеного інтег­рування, маємо

b

a

x

0

2

3

2 - 0

J v(t )dt = 2 J(1 - 1/412 )dt = 2 - 3 =

2 3 3

Приклад 9. Знайти середнє значення функції y = sin x на відрізку [0, я/2]. За формулою (20)

я [ 2

Я2-0 J

J cos xdx = - sin x

j TT

я/2

= -(sinrc/2- sin 0) = -(l-0) =

я

я

я

5.6. ОСНОВНІ МЕТОДИ ОБЧИСЛЕННЯ ВИЗНАЧЕНОГО

ІНТЕҐРАЛА

5.6.1. Заміна змінної (спосіб підстановки)

Теорема 4. Нехай: 1) функція f (x) неперервна на відрізку [a, b]; 2) функ­ція x = p(t) неперервна зі своєю похідною на відрізку [а, /?]; 3) виконуються рів­ності ср(а) = a, p(p) = b. Тоді має місце наступна формула (формула заміни змінної)

и

J f (x )dx

p(t), dx = p'(t )dt,

x

a

b

t

a

 

J f (p(t Mt )dt ( 24 )

■ Нехай F (x) - якась первісна функції f (x). Тоді F (p(t)) є первісною функції f (p(t ))p'(t). За формулою Ньютона-Лейбніца а) інтеграл ліворуч дорівнює

bb

J f (x )dx = F (x)  = F (b)-F (a);

б) інтеграл праворуч має таке ж саме значення, оскільки

J f (p(t )p(t )dt = F (p(t) = F (p(f3)) - F (p(a)) = F (b) - F (a). ■

Зауваження. На відміну від невизначеного інтеграла післе застосування формули (24) не треба повертатися до попередньої змінної інтегрування.

v=

mean

1

2

y

mean

0

x

a

Приклад 10. Обчислити визначений інтеграл

я/ 2

I

-я/ 2

cos xdx 4 + sin2 x

Покладімо sin x = t. Тоді cos xdx = dt,

я-2 cos xdx     г  dt 1

x

- я/ 2

я/2

t

-1

1

t

2   - .      2 =— arctan — ,24 + sin2 x   -,4 +1     2 2

-я/ 2 -1

_ г   cos xdx _ г

j   4 + sin2 x j<

-1   2 v

1

, так що

arctan arctan

2 V 2

arctan

2

Приклад 11. Знайти площу фігури, обмеженої еліпсом

2 2

2 + Т7 = 1 (рис. 6).

Рис. 6 OAB фігури.

Перший спосіб. З рівняння еліпса

b    1 ,2 „2

a2   b2

Достатньо знайти почетверену площу частини

і тому

S = 4Soab =  JV a2 - x2 dx

b   [~2 2

y = va -x a

x = a sin t, dx = a cos tdt,

Va2 - x2 = a cos t, -

x

0

a

t

0

я 2

я 2

4ab J cos2 tdt

4ab J cosdt = 2abl J dt +J cos2tdt

0 2 V 0 0

2ab

я 2

+ — sin 2t

2

0

0

тяіЬ

Другий спосіб. Краще перейти до параметричних рівнянь еліпса, а саме: x = a cos t, y = b sin t. В цьому випадку заміна змінної x = a cos t, в результаті якої ми повинні взяти y = b sin t, дає той же результат значно простіше,

S = 4 Soab = 4

a

J ydx -

x = a cos t, y = b sin t dx = -asintdt

x

0

a

t

я/2

0

я 2

-4ab Jsin2 tdt = 4ab Jsin2 tdt

я 2

1

1

/2

4ab J 1c°s 2t dt = 2ab| J dt -J cos2tdt

'я/ 2 я/2

 

 

V2 1

sin 2t

я/2 Л

= 2ab

 

 

 

 

|| t

0 2

0 J

J

V

0

 

5.6.2. Інтеґрування частинами

Теорема 5. Якщо функції u = u(x), v = v(x) неперервні з своїми похідними на відрізку [a, b], то справедливою є наступна формула (формула інтеґрування частинами):

bb

J udv = (uv) - J vdu ( 25 )

■Для доведення формули достатньо проінтегруровати від a до b обидві частини рівності

udv = d (uv)- vdu

і застосувати формулу Ньютона-Лейбніца для інтеграла від функції d (uv) .■ Приклад 12. Обчислити визначений інтеграл

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1