2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 72

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

J arctan xdx.

Використовуючи інтегрування частинами, отримуємо

1   1 xdx    я   1 г 2xdx

J arctan xdx

0

w

u = arctan x, dv = dx dx

-2^ v = x

du

1 + x2

= (x arctan x) -J

о   „ 1 + x2    4   2J1 + x2

я

1 f (1 + x2) dx   я    1 . L n\ -J   і x2    =T"2ln(1 + x ) =

4   2 J0   1 + x

4 2

= я-31п2 « 0.785-0.347 « 0.44. 4 2

Приклад 13. Обчислити площу фігу­ри, обмеженої двома лініями

y = ln x,y = ln2 x (див. рис. 7).

Рис. 7

Лінії y = ln x, y = ln2 x перетинаються

aaв точках A(1; 0), B(e; 1) і утворюють фігуру AmBnA (рис. 7). Її площа дорівнює різниці площ двох криволінійних трапецій AnBC, AmBC. Тому

S = S     - S

° °'AnBC °'AmBC

e

= J (ln x - ln2 x)dx =

u = ln x - ln2 x, dv = dx,

\du = {1 - 2ln x Jdx, v = x| xx

1    2ln x

xx

"J xdx = J (2ln x - 1)dx =

u = 2ln x -1, dv = dx, 2dx

du =-, v = x

x

= e-(-1)-2(e-1) = 3 -e « 0.28.

= (x(ln x - ln2 x)) -

ee

= (x(2ln x -1)) -2J dx =

Приклад 14. Нехай

я я

2 2

In = J sinn xdx, Jn = J cosn xdx, n = 0,1, 2, 3,....

Довести, що

1n-2i 0 n 0 n

n

n

In =

J sinn xdx

u = sinn 1 x, dv = sin xdx

du = (n - 1)sinn 2 x cos xdx, v

= - cos x

: (- sinn 1 x cos x)

+

(n - l)Jsinn 2 x cos2 xdx = (n - l)Jsinn 2 x(l - sin2 x)dx = (n - l)In-2 - (n - l)I

In +(n -l)In =(n -l)In-2 , =(n

Наприклад,

n

J sin5 xdx = I

4       4 2

5    5 3    5 3

I1 = J sin xdx 1    15 j =A.1 = A.

15 15

Jcos6 xdx = J

=    = 5 г = 5 3 г = 5 3 1 т

J 6 J 4 -      J 2 -      -      J 0

6    6 4    6 4  2    6 4 2 0

15 48 я

J dx =15 -я « 0.49.

48 2

Приклад 15. Знайти залишковий член Rn (x) формули Тейлора в формі Ла-гранжа.

I

n

Нехай, наприклад, n =l

Af (x0) = f (x) - f (x0) = f '(x0)(x - x0) + R1(x). За формулою Лагранжа p(x)- p(x0) = p'(c )(x - x0). Взявши

p(x ) = f '(x),

маємо

f '(x)- f '(x() ) = f "(c)(x - x0), і після інтегрування по відрізку [x0, x] отримуємо

J f "(x )dx - f '(x{) )J dx = f "(c )J(x - x0 )dx, f (x)- f (x0)- f "(x0 )(x - x0 ) = f4) (x - x0 У, Af (x0 ) = f (x)- f (x0 ) = f" (x0 )(x - x0) +        (x - x0 )2.

Таким чином,

R (x) = ^(x - x0)2 = ^ (x - x0)2 = ^(x - x0)2. Щоб знайти Rn (x) для довільного n ми пишемо Af (x0 ) = f" (x0 )(x - x0)+ f " (x0)(x - x0 )2 +... + f(n )(x0 )(x - x0 )n + Rn (x), потім покладаємо p(x) = f (n )(x), і за формулою Лагранжа маємо

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1