2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 73

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

f(n )(x )- f (n )(x0 ) = f(n+1)(c )(x - x0) . Далі ми n раз інтегруємо по відрізку [x0, x] і отримуємо

f (n-1)(x)- f ^ )- f <n )(x0)(x - x0 )= ff-^ (x - x0 )2, f (n-2)(x)-f (n-2)(x0)- f ^n-\x{) )(x - x0)-(x - x0 )2 = f^£l (x - x0 )3,...

Af (x0 ) = f '{x0 )(x - x0) + ^ (x - x0 )2 + ... + (x - x0 )n + ^^(x - x0 )n+1,

2! n! (n +1)!

тобто

Kn+1)

Rn (x ) = 4^ (x - x0 )n+1. (n +1)!

6. ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕҐРАЛА

6.1. ДВІ СХЕМИ ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ИНТЕҐРАЛА

Розглядають дві схеми застосування визначеного інтеграла для знаход­ження деякої величини Q.

1) Складання інтегральної суми і подання Q як границі інтегральної суми, тобто у вигляді визначеного інтеграла.

Приклад 1. Як приклад див. три задачі в п. 5.1 і відповідні формули (10), (11), (12) в п. 5.2.

2) Відшукання елементу (фактично диференціала) dQ величини Q і по­дання Q як суми всіх цих злементів. Така процедура іншим шляхом веде до ви­значеного інтеграла для знаходження Q.

Для ілюстрації другої схеми ми розглянемо ті ж самі задачі, що і пп. 5.1,

5.2.

Приклад 2. Площа криволінійної трапеції першого типу

{(x; y): a < x < b, 0 < y < f (x)} (рис. 1). Елемент (диференціал) dS площі S (площа зашт­рихованої смужки з основою [x, x + dx] на рис.1) дорівнює

dS = f (x )dx.

Рис. 1 Підсумовуючи всі ці елементи від a до b, отримуємо

шукану площу как вже відомой визначений інтеграл

ь

S = J f (x )dx

( 1 )

Приклад 3. Кількість U продукції, виготовленої підприємством протягом інтервалу часу [0, 7].

Нехай f (t) - продуктивність праці в довільний момент часу t. Елемент dU кількості продукції, виготовленої протягом нескінченно малого інтервалу

Застосування визначеного інтеграла 264 часу [t, t + dt ], дорівнює

dU = f (t )dt.

Беручи сумі всіх цих елементів від 0 до T, ми отримуємо шукану кількість про­дукції U, а саме:

T

U = J f(t )dt ( 2 )

0

Приклад 4. Довжина L шляху, пройденого матеріальною точкою протягом проміжку часу від t = 0 до t = T з швидкістю v (t).

Елемент dL шляху, пройденого протягом нескінченно малого проміжку часу [t, t + dt ], дорівнює

dL = v (t )dt,

а сума всіх цих злементів від 0 до T дає шукану довжину шляху L

T

L = J v (t )dt. ( 3 )

0

Звичайно, результати (1), (2), (3) збігаються з результатами (10), (11), (12), які було отримано в п. 5.2.

6.2. ПЛОЩІ ПЛОСКИХ ФІГУР: ДОПОВНЕННЯ

а) Випадок недодатної функції. Площа фігури

{(x,y): a < x < b,f(x)< y < 0},f(x)< 0, яку зображено на рис. 2, дорівнює

Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4

b

S = -Jf(x)dx. ( 4 )б) Випадок, коли функція має різні знаки на різних інтервалах. Нехай функція f (x) невід"ємна на інтервалі [a, b] і недодатна на інтервалі [b, c ]. Площа відповідної фігури, зображеної на рис. 3, дорівнює

S = S1 + S2 = J f (x )dx - J f (x )dx.

( 5 )

в) Випадок, коли фігура міститься між двома кривими. Площа фігури {(x,y): a < x < b, f (x)< y < f2(x)}, зображеної на рис. 4, дорівнює

b

S = J(f2 (x)-f (x ))dx. ( 6 )

a

Приклад 5. Знайти площу фігури, заключеної між двома лініями y = 4 -x2, y = x2 -2 (рис. 5).

Точки перетину кривих мають абсциси ± V3. Фігура симетрична відносно осі Oy; ми можемо знайти подвоєну площу її правої частини.

V3 V3 S = 2 J((4 - x2)- (x2 - 2))dx = 2 J(6 - 2x2)dx = 2

6 x - 2 x3 3

V3

Рис. 5

= 2^673-2-3л/3 J = 8л/3 « 13.9.

г) Фігури, ориєнтовані відносно осі Oy. Площі фігур {(x, y): c < y < d, 0 < x < g(y)} (рис. 6), {(x, y): c < y < d, g (y)< x < 0}, g(y) < 0 (рис. 7), {(x,y):c < y < d,0 < x < g (y)}U {(x,y): d < y < e, g(y)< x < 0} (рис. 8), {(x, y): c < y < d, g1 (y)< x < g2 (y)} (рис. 9) відповідно дорівнюють

S=Jg (y )dy, ( 7 )

d

c

d e S = S1 + S2 =J g(y )dy -J g(y )dy ,

cd

d

S = J (g 2 (y)- g1(y ))dy .

_J66

( 8 ) ( 9 ) ( 10 )

Рис. 9

Рис. 6 Рис. 7 Рис. 8

Приклад 6. Знайти площу фігури, обмеженоої лініями y2 = 4 x + 4, y2 =-2 x + 4 (рис. 10).

Запишемо рівняння кривих у вигляді

x = g1(y) = ^ (ACE), x = g2(y)= 4 -y2

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1