2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 74

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

(adb )

4     \      /■>     *^z\^/ 2

і застосуємо формулу (10).

З огляду на симетричність фігури відносно осі Ox Рис. 10 знайдемо подвоєну площу її верхньої частини,

S = 2Sbcd = 2J (g 2 (y)-g1(y ))dy = 2J

^4-y2   y2 -4

2

4

2

\dy = - J(12 - 3 y2 )dy =

2.

д) Випадок кривої, заданої параметрично.

Нехай, наприклад, дано криволінійну трапецію

{(x; y): a < x < b, 0 < y < f (x)}, (рис. 1), але криву y = f (x) задано параметричними рівняннями

x = x(t), y = y(t) (x = a для t = а і x = b для t = ^)

Для знаходження площі такої кривілінейної трапеції ми замінимо змінну в формулі (1), а саме:

x = x(t), f (x) = y(t) dx = x'(t )dt,

b

S = J f (x )dx =

x

a

b

t

a

 

J y(t )x'(t )dt

Приклад 7. Знайти площу петлі лінії

/ ,       J   x = t 2, y = t--(рис. 11).

Рис. 11

і складемо таблицю

Щоб побудувати криву за точками і побичити петлю, ми прирівняємо до нуля вирази

x = t , y = t--

t3

3

x' = 2t, y' = 1 -12

t

-2

-V3

-1

0

1

V3

2

x

4

3

1

 

1

3

4

y

2 3

0

2 3

 

2 3

0

2 3

Point

A

B

C

 

D

E

F

З рис. 11 ми бачимо, що S = 2SODEO , а тому

S = 2SODEO = 2J f (x)dx:

x = t2, f (x) = t--

dx = 2tdt,"

x

0

3

t

0

V3

V3,

= 2 Jl t--|2tdt = 4 J

W 14

*2 '

dt

8л/3 5

3

3

е) Площа в полярних координатах.

Нехай задано криволінійний сектор (або криволінійний трикутник),

тобто плоска фігура, обмежена двома променями OA :q> = a, OB :q> = Я < в) і кривою AB, заданою в полярних координатах рівнянням р = f (ер) (рис. 12).

Застосування визначеного інтеграла 268 Треба отримати формулу для знаходження площі криволінійного сектора.

Елементом dS площі тут є площа заштрихованого криволінійного сектора з радіусом OM = р = f (р) і цент-

ральним кутом dp,

й

Р dS

Ж OM - dp =1 OM2 - dp =1 р2 - dp =1 f2 (p)-dp. 2ж 2 2 2

Рис. 12

Додаючи всі ці елементи від а до Я, дістаємо шукану фо-

рмулу

S =1j P2dp = 2 j f2 (p)dp

2 '2

a u.

Приклад 8. Знайти площу фігури, обмеженої кардиоїдою р = a(1 + cosp) (рис. 13).

Шукана площа дорівнює подвоєній площі верхньої частини фігури, яка є криволінійним сектором, обмеженим

( 11 )

Рис. 13

кардиоїдою і променями р = 0, р = ж . За формулою (11)

S = 2 - J р2dp = J (a(1 + cos p))2dp = a2 J (1 + 2 cos p + cos2 p)dp

2 0

ж

= a2 J (1 + 2cosp +

1 + cos2p. л      2(3     . .       1 . .

-)dp = a l p + 2sin p + — sin 2p

2

2

4

3 2

= жa

2

Рис. 14

Приклад 9. Знайти площу фігури, обмеже-ної лемніскатою Бернуллі

(x2 + y2 )2 = a2 (x2 - y2) (рис. 14). Фігура симетрична відносно координат­них осей і знаходиться всередині кута, визна-

ченого бісектрисами координатних кутів y = ±x (y| < |x|) (рис. 14).

Переходячи до полярних координат x = р cos p, y = р sin p, x2 + y2 = р2, ми переписаємо рівняння лемніскати у вигляді

ж

ж

 ((р cosp)2 + (рsinp)2) = a2((р cosp)2 -^snip)2) р4(sin2 p + cos2 p) = = a2р2(cos2 p-sin2 p), р2 = a2 cos2p, р = aJ~cos2p,

р = a^J cos2p.

Пісня цього ми знаходимо почетверену площу криволінійного сектора, обмеже­ного лемніскатою і променями p = 0 p = ж/4. Дістаємо

ж

і*

4

S = 4 - 2 Jр2dp = 2J(aA/cos2p) dp = 2a2 Jcos2pdp = a2 sin2p 4 = a2

.2

6.3. ДОВЖИНА ДУГИ КРИВОЇ

Нехай w AB - дуга деякої кривої, довжину якої треба знайти. Перший метод. Поділимо дугу WAB на n частин точками

M 0 = A, M1, M 2,..., Mn-1, Mn = B і впишемо ламану лінію M 0M1M 2...Mn-1Mn в WAB (рис. 15). Нехай

Fig. 15 Pn = J Ml_lMl = M 0M1 + MM2 +... + Mn_xMn ( 12 )

i=1

- периметр ламаної і Л = max Mi-1Mi. Якщо існує границя

i

L = lini Pn, ( 13 )

вона називається довжиною дуги WAB.

Припустимо, що дуга w AB кривої визначена в декартових координатах рівнянням

y = f(x) ( 14 )

на відрізку [a, b], xi,yi (i = 0, n) - координати довільної точкиMi, Mi (xi, yi), кри­вої і x0   a, xn   b . В цьому випадку

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1