2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 75

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

M-lMl ^(x, - xi-1 )2 + (yt - Уі-1 )2 =V(x - xi-1 )2 + (f (xi)- f (x-1 ))2, і на підставі теореми Лагранжа існує точка ci є [xi-1, xi ] така, що

Застосування визначеного інтеґрала 270 /(х)" f (Х-:) = f '(с\хг - хг_1).

Позначивши хг - хг-1 = Ахг, отримуємо Мг-1Мг     1 + f12 (сг )Ахг, і тому

г=1

Перехід до границі при 1 = max Ахг » 0 дає значення довжини дуги у вигляді

г

визначеного інтеґрала від a до b,

b

L = jV 1 + f '2  d. ( 15 )

a

Довжина L дуги існує, якщо функція f (х) неперервна зі своєю першою похідною на відрізку [a, b].

Другий метод. Знайдімо спочатку елемент (диференціал) ds шуканої дов­жини дуги, а потім саму довжину дуги як суму всіх елементів. За теоремою Піфагора ds2 = dx2 + dy2, и

ds = yj сіх2 + dy2. ( 16 )

Для дуги w AB, визначеної рівнянням (14),

11

і сума всіх елементів від a до b приводить до тієї ж формули (15). Якщо дуга w AB кривої визначена параметричими рівняннями

х = х(і), y = y(t) а < t < В, ( 17 )

ми з (16) маємо

ds = yj іх2 + dy2 =■,] х'2 (t)+ y'2 (t )dt,

а тому

L = jV х2 (t) + y'2 (t )dt. ( 18 )

а

Якщо дугу w AB задано в полярних координатах рівнянням

р = р(ф), а < ср< /З, ( 19 )ми переходимо до її параметричних рівнянь

х = р cos р, y = р sin р, а < р< В ( 20 )

і застосовуємо формулу (18). Оскільки

іх = cos р - р sin p)dp, dy = sin р + р cos p)dp, іх2 + dy2 = (р2 + р2 )dp,

ds = -у/р + р dp,

формула (18) дає

L jV р2 + р2 dp.

( 21 )

Приклад 10. Знайти довжину дуги кривої y = ln х для 1 < х < л/3. На підставі формули (15) маємо

L = ^1 + (ln х) іх = j 1 + ■1 '     Г Vl + х

0

2 О"

;-Іх = J-

d

1 + х2 = t2,

X

1

V3

хіх = tdt,

t

V2

2

rVt2 tdt = г t2dt = 2(t2 -1 + 1)dt

j   х ^ х     j t2 -1   j     t2 -1

V2   x x      42 42

42

t2-1

dt

t + -ln

2

t-1

t+1

« 0.04

Приклад 11. Знайти довжину петлі кривої

2 r х = t , y = t--

(див. приклад і рис. 11 вище). За формулою (18)

L = 2LODE = 2 j

43

(t2) f    t3 >

2

V     3 У dt 2 ^A/(2t)27(1-t2)2dt = 2 j7

dt = 2 jV t4 + 2t2 + 1dt =

0

= 2 jv(t2 +1)2 dt = 2 j(t2 + 1)dt = :

f t3 4

+1

V 3 У

V5

« 6.93.

Приклад 12. Знайти довжину кардиоїди р = a(1 + cosp) (див. рис. 13). За допомоги формули (21) отримуємо

L = 2|д/р2 + р2dp = 2^д/a2(1 + 2cosp + cos2 p)+ a2 sin2 pdp = 2a jyj 1 + cospdp

/

= 2a ji] 2(l + cos —)d— = 2a j*J4cos2 d— = 4a j cosdp = Sal sin

0 0 ' 2 0     2 ^

Приклад 13. Знайти довжину еліпса

2 2

x- + У-=і

a2    b2

Параметричні рівняння еліпса x = a cos t, y = b sin t, 0 < t < 2ж, і згідно з формулою (18)

ж

8a.

L = jyja2 sin21 + b2 cos21dt.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1